Questa non è una risposta vera, ma un'espansione sul calcolo dei modelli di diffrazione dalla risposta di @ whuber .
Innanzitutto, abbiamo l'integrale di diffrazione. La funzione U p descrive l'ampiezza complessa nel piano di osservazione a una distanza ( x p , y p ) dall'asse ottico e una distanza L z dalla sorgente (una sorta di oggetto diffrattivo, ad esempio foro stenopeico, apertura della fotocamera, ecc. ) U s è una funzione che descrive l'ampiezza complessa nel piano sorgente; per un foro stenopeico estremamente piccolo è possibile utilizzare una funzione delta dirac . La terza variabile in U s è 0 perché per comodità diciamo che l'oggetto diffrattivo è l'origine del sistema di coordinate. Le variabili x se y s nei suoi argomenti contabilità per quel fatto che l'oggetto può avere una certa dimensione nel piano x-y .
Questo potrebbe non sembrare un così orribile integrale, ma k e r sp sono entrambi solo una notazione per qualcosa di più grande:
Integrare una funzione con un radicale con termini quadrati sia nel numeratore di e che nel denominatore è davvero un integrale molto brutto.
Uno semplifica l'integrale rimuovendo le radici quadrate utilizzando la rappresentazione della serie binomiale e troncando i termini di ordine superiore. L' integrale Fraunhofer vale quando sono necessari 2 termini; l' integrale di Fresnel è per quando sono necessari 3 termini. C'è un po 'di nuanuce alla prova di ciò, ma è al di fuori dello scopo di questo.
Quando iniziamo a manipolare queste cose per ottenere gli integrali di diffrazione di Fresnel e Fraunhofer, otteniamo tre quantità.
Se Nfd * ( θ d ) 2 << 1, l'integrale di Fresnel è valido. Se questo è vero e Nfs << 1, l'integrale Fraunhofer vale.
I due integrali sono:
Fresnel:
Fraunhofer:
dove
,
e ν x e ν y sono le dimensioni della sorgente in una data dimensione divisa per la lunghezza d'onda della luce per la distanza dalla sorgente. Normalmente sarebbe scritto ν s = d / ( λx s ).
Per rispondere alla domanda di @ whuber sul perché potresti aver bisogno dell'uno o dell'altro, nonostante ciò che afferma Wikipedia, richiede un po 'di riflessione.
Il commento "sul piano focale di un obiettivo di imaging ..." è probabilmente sollevato da un libro di testo e l'implicazione è che la fonte della diffrazione (cioè il foro stenopeico, la fessura, qualunque cosa - queste equazioni sono agnostiche quanto alla geometria di la fonte) è molto lontana. Sfortunatamente, non solo l'obiettivo poteva essere a qualsiasi distanza e più vicino di quanto consentito dall'integrale Fraunhofer, ma la diffrazione ha origine anche all'interno del sistema di obiettivi per una fotocamera.
Il modello di diffrazione corretta dall'apertura di una macchina fotografica è un n un'apertura a senso unico ( n è il # di apertura lame nella lente) illuminati da una sorgente puntiforme nella posizione della cosa nell'immagine che produce il modello starburst.
Quando gli oggetti sono veramente lontani (alcuni metri andrebbero bene), le sorgenti puntiformi si comportano come se fossero onde piane e le derivazioni effettuate su Wikipedia vanno bene.
Ad esempio, l'apertura per un obiettivo a doppio gauss da 50 mm è dell'ordine di 40 ~ 60 mm dal piano dell'immagine. È ripreso da un paio di obiettivi dietro l'arresto fisico a una distanza maggiore di quella (questa è la posizione della pupilla di uscita), ma la pupilla di uscita non è dove si trova la funzione U s ( x s , y s , 0) centrato!
Per una luce di apertura del raggio di 500 nm e 1 mm, possiamo verificare se l'integrale Fraunhofer è valido. È uguale a (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ), o 40, che è >> 1 e l'integrale Fraunhofer non è valido. Per la luce visibile, fintanto che il diaframma si trova nell'ordine dei millimetri dal rivelatore, Nfs non sarà mai vicino a 1, figuriamoci molto più piccolo.
Queste equazioni possono differire in qualche modo da quelle su Wikipedia; Vorrei fare riferimento all'OPT 261, Interference & Diffraction presso l'University of Rochester Institute of Optics, tenuto dal professor Vamivakas. Le equazioni in Optics di Hecht dovrebbero essere abbastanza simili. Le equazioni sono per l' ampiezza complessa , per ottenere l' irraggiamento (aka intensità o luminosità), dovresti prendere la grandezza al quadrato del risultato.
