In realtà non hai bisogno della trigonometria, ma solo l'aritmetica di base. La lunghezza focale ingrandita offre un campo visivo come se avessi ritagliato l'immagine in base al rapporto tra la lunghezza focale precedente e la nuova: ovvero, se hai un'immagine scattata a 50 mm, puoi vedere il campo visivo di un obiettivo da 75 mm semplicemente ritagliando di ⁵⁰⁄₇₅th - che è ⅔.
Questa semplice relazione è il motivo per cui il "fattore di coltura" (a volte, purtroppo, chiamato "moltiplicatore della lunghezza focale") funziona. Se il tuo sensore è ⅔ la larghezza di un sensore a pieno formato, il ritaglio è di un fattore 1,5 (l'inverso di ⅔). Quindi, ottieni il campo visivo di un obiettivo con una lunghezza focale di 1,5 × su full frame: un obiettivo da 50 mm su APS-C offre lo stesso campo visivo di un obiettivo da 75 mm su full frame.
Per inserire alcuni numeri: se il punto di partenza con una lunghezza focale di 50 mm è un'immagine da 3000 × 2000 da 6 megapixel, ritagliarla su 2000 × 1333 ti darà il campo visivo di un obiettivo da 75 mm: in pixel, 3000 × 50 ÷ 75 in orizzontale e 2000 × 50 ÷ 75 in verticale. (Una tangente, se perdoni il gioco di parole: noterai che questo è un grande successo nella risoluzione - perdi un numero di pixel pari al fattore di ritaglio - il rapporto tra le lunghezze focali - quadrato . Ecco perché lo zoom ottico di solito è preferibile lo "zoom digitale" , che è solo il ritaglio. E, generalmente, sensori più piccoli riempiono più pixel nel sensore più piccolo per compensare il ritaglio, che, a seconda del livello di tecnologia utilizzato, funziona in qualche modo. è una discussione completamente diversa .)
È possibile utilizzare una geometria semplice (non trig) per dimostrarlo.
Avrai bisogno di un righello con segni millimetrici e un foglio di carta bianco. Potrei creare alcuni elementi grafici che mostrino tutto ciò, ma credo fermamente che sia un esercizio che funziona meglio se lo fai effettivamente su carta fisica reale. Quindi, se mi umorizzi e lavori insieme ...
Lungo il bordo inferiore della carta, centrato al centro, traccia una linea orizzontale lunga 24 mm. Ciò rappresenta un sensore APS-C.
Misura 50 mm dal centro di quella linea e metti un punto. Ciò rappresenta la raccolta di luce all'interno di una lente idealizzata da 50 mm. (Immaginalo come una fotocamera a foro stenopeico, se vuoi.)
Ora, disegna una linea dal bordo sinistro del sensore attraverso il punto "obiettivo" e continua fino alla cima della carta. Fai lo stesso dal bordo destro, dandoti una forma a X con il punto dell'obiettivo al centro della X. Il cono superiore della X rappresenta il campo di vista orizzontale di un obiettivo da 50 mm sul tuo sensore APS-C.
Puoi misurare l'angolo con un goniometro, se ne hai uno - dovrebbe essere di circa 27 °. E puoi misurare il campo visivo orizzontale in millimetri a una determinata distanza dalla tua "fotocamera", misurando attraverso il cono nella parte superiore della X. (A 10 cm di distanza dal punto obiettivo idealizzato, dovrebbe essere di circa 4,8 cm. )
Ora misura 75 mm dal centro della linea del "sensore" e metti un altro punto, che rappresenta un obiettivo idealizzato da 75 mm.
Disegna una X dai bordi del sensore anche attraverso questo punto. Se si misura questo angolo, dovrebbe essere di circa 18,2 gradi e, di nuovo, 10 cm dal punto dell'obiettivo, se si misura attraverso, dovrebbe essere di circa 3,2 cm.
E hey presto: 4.8mm × ⁵⁰⁄₇₅ = 3.2mm. (Certo, le tue linee non sono esattamente alla stessa distanza dal sensore stesso, poiché stai misurando dal punto che rappresenta l'obiettivo per far sì che la matematica esca così bene. Ma qui stiamo lavorando con insolitamente vicini distanze di messa a fuoco - quando parli di un soggetto a distanze normali la differenza è trascurabile.)
Quindi, in ogni caso, puoi estendere il sensore in modo che sia largo 36 mm anziché 24 mm, cambiandolo da APS-C a full frame. Ora, traccia le linee da quel nuovo sensore più grande attraverso l'attuale punto "obiettivo" da 75 mm.
Anche senza misurare, dovresti essere in grado di vedere che l'angolo di visione con il sensore più grande attraverso l'obiettivo da 75 mm è lo stesso di quello con il sensore più piccolo attraverso l'obiettivo da 50 mm. Quindi c'è l'equivalenza del "fattore di raccolto" proprio di fronte a te. Splendido, no?
Si noti che questo copre solo l'angolo di vista. La prospettiva non cambierà, perché ti trovi nello stesso posto, ma cambierà la profondità di campo (e la distribuzione della profondità di campo). E ovviamente i diversi obiettivi reali del mondo reale avranno proprietà diverse (come la distorsione) che non sono modellate da questo.
Ma in termini di campo visivo, questo è tutto. Niente al di là della matematica della scuola media richiesto.