Questo codice viene sempre valutato come falso? Entrambe le variabili sono ints firmati a complemento di due.

~x + ~y == ~(x + y)

Sento che dovrebbe esserci un numero che soddisfi le condizioni. Ho provato a testare i numeri tra -5000e 5000non ho mai raggiunto l'uguaglianza. C'è un modo per impostare un'equazione per trovare le soluzioni alla condizione?

Sostituire l'uno con l'altro causerà un bug insidioso nel mio programma?

Supponiamo per amor di contraddizione che esistano alcuni xe alcuni y(mod 2 ⁿ ) tali che

~(x+y) == ~x + ~y

Dal complemento a due *, sappiamo che,

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

Notando questo risultato, abbiamo,

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

Quindi, una contraddizione. Pertanto, ~(x+y) != ~x + ~yper tutti xe y(mod 2 ⁿ ).

^{* È interessante notare che su una macchina con l'aritmetica del proprio complemento, l'uguaglianza è vera per tutti xe y. Questo perché sotto lo stesso complemento, ~x = -x. Così, ~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y).}

Complemento a due

Nella stragrande maggioranza dei computer, se xè un numero intero, -xviene rappresentato come ~x + 1. Equivalentemente, ~x == -(x + 1). Fare questa sostituzione nella tua equazione dà:

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• - (x + 1) + - (y + 1) = - ((x + y) + 1)
• -x - y - 2 = -x - y - 1
• -2 = -1

che è una contraddizione, quindi ~x + ~y == ~(x + y)è sempre falso .

Detto questo, i pedanti indicheranno che C non richiede il complemento di due, quindi dobbiamo anche considerare ...

Un complemento

Nel proprio complemento , -xè semplicemente rappresentato come ~x. Lo zero è un caso speciale, con entrambe le rappresentazioni di tutti-0 ( +0) e tutti-1 ( -0), ma IIRC, C richiede +0 == -0anche se hanno modelli di bit diversi, quindi questo non dovrebbe essere un problema. Basta sostituire ~con -.

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• -x + (-y) = - (x + y)

che è vero per tutti xe y.

Considera solo il bit più a destra di entrambi xe y(IE. Se x == 13che è 1101nella base 2, vedremo solo l'ultimo bit, a 1) Quindi ci sono quattro casi possibili:

x = 0, y = 0:

LHS: ~ 0 + ~ 0 => 1 + 1 => 10
RHS: ~ (0 + 0) => ~ 0 => 1

x = 0, y = 1:

LHS: ~ 0 + ~ 1 => 1 + 0 => 1
RHS: ~ (0 + 1) => ~ 1 => 0

x = 1, y = 0:

Lo lascerò a te dato che si tratta di compiti a casa (suggerimento: è lo stesso del precedente con x e y scambiati).

x = 1, y = 1:

Lascio questo anche a te.

Puoi mostrare che il bit più a destra sarà sempre diverso sul lato sinistro e sul lato destro dell'equazione dato qualsiasi input possibile, quindi hai dimostrato che entrambi i lati non sono uguali, poiché hanno almeno quel bit che viene capovolto l'uno dall'altro.

Se il numero di bit è n

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

Adesso,

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

Quindi, saranno sempre disuguali, con una differenza di 1.

Suggerimento:

x + ~x = -1(mod 2 ⁿ )

Supponendo che l'obiettivo della domanda sia testare la tua matematica (piuttosto che le tue abilità di lettura delle specifiche C), questo dovrebbe portarti alla risposta.

Sia nel complemento a uno che a due (e anche nei 42), questo può essere dimostrato:

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

Ora lascia a = ye abbiamo:

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

o:

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

Pertanto, nel complemento a due ~0 = -1, la proposizione è falsa.

Nel complemento di ciò ~0 = 0, la proposizione è vera.

Secondo il libro di Dennis Ritchie, C non implementa il complemento a due per impostazione predefinita. Pertanto, la tua domanda potrebbe non essere sempre vera.

Lasciare MAX_INTessere l'int rappresentato da 011111...111(per quanti bit ci siano). Allora lo sai ~x + x = MAX_INTe ~y + y = MAX_INT, quindi, saprai per certo che la differenza tra ~x + ~ye ~(x + y)è 1.

C non richiede che il complemento a due sia ciò che viene implementato. Tuttavia, per numeri interi senza segno vengono applicate logiche simili. Le differenze saranno sempre 1 in questa logica!

Naturalmente, C non richiede questo comportamento perché non richiede la rappresentazione del complemento di due. Ad esempio, ~x = (2^n - 1) - xe ~y = (2^n - 1) - yotterrà questo risultato.

Ah, matematica discreta fondamentale!

Dai un'occhiata alla legge di De Morgan

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

Molto importante per le prove booleane!