Sappiamo tutti che 0 ⁰ è indeterminato.

Tuttavia , javascript dice che:

Math.pow(0, 0) === 1 // true

e C ++ dice la stessa cosa:

pow(0, 0) == 1 // true

PERCHÉ?

Lo so:

>Math.pow(0.001, 0.001)
0.9931160484209338

Ma perché non Math.pow(0, 0)genera errori? O forse NaNsarebbe meglio di 1.

In C ++ Il risultato di pow (0, 0) il risultato è fondamentalmente un comportamento definito dall'implementazione poiché matematicamente abbiamo una situazione contraddittoria in cui N^0dovrebbe essere sempre 1ma 0^Ndovrebbe sempre essere 0per N > 0, quindi non dovresti avere aspettative matematicamente sul risultato di questo. Questo post del forum Wolfram Alpha fornisce maggiori dettagli.

Sebbene il pow(0,0)risultato 1sia utile per molte applicazioni, poiché il Rationale for International Standard — Programming Languages ​​— C afferma nella sezione relativa al supporto aritmetico a virgola mobile IEC 60559 :

In genere, C99 evita un risultato NaN dove è utile un valore numerico. [...] I risultati di pow (∞, 0) e pow (0,0) sono entrambi 1, perché ci sono applicazioni che possono sfruttare questa definizione. Ad esempio, se x (p) e y (p) sono funzioni analitiche che diventano zero in p = a, allora pow (x, y), che è uguale a exp (y * log (x)), si avvicina a 1 quando p si avvicina un.

Aggiorna C ++

Come i leemes hanno correttamente sottolineato, originariamente mi collegavo al riferimento per la versione complessa di pow mentre la versione non complessa afferma che è un errore di dominio la bozza dello standard C ++ ricade sulla bozza dello standard C e sia C99 che C11 nella sezione 7.12.7.4 Il paragrafo funzioni pow 2 dice ( enfasi mia ):

[...] Può verificarsi un errore di dominio se x è zero ey è zero. [...]

che, per quanto posso dire mezzo questo comportamento è un comportamento non specificato di avvolgimento di una sezione po ' 7.12.1 Trattamento delle condizioni di errore dice:

[...] si verifica un errore di dominio se un argomento di input è esterno al dominio su cui è definita la funzione matematica [...] In un errore di dominio, la funzione restituisce un valore definito dall'implementazione; se l'espressione intera math_errhandling & MATH_ERRNO è diversa da zero, l'espressione intera errno acquisisce il valore EDOM; [...]

Quindi, se ci fosse un errore di dominio, questo sarebbe un comportamento definito dall'implementazione, ma sia nelle ultime versioni di gccche clangnel valore di errnoè 0quindi non è un errore di dominio per quei compilatori.

Aggiorna Javascript

Per Javascript, la specifica del linguaggio ECMAScript® nella sezione 15.8 The Math Object in 15.8.2.13 pow (x, y) dice tra le altre condizioni che:

Se y è +0, il risultato è 1, anche se x è NaN.

In JavaScript Math.powè definito come segue :

• Se y è NaN, il risultato è NaN.
• Se y è +0, il risultato è 1, anche se x è NaN.
• Se y è −0, il risultato è 1, anche se x è NaN.
• Se x è NaN ey è diverso da zero, il risultato è NaN.
• Se abs (x)> 1 ey è + ∞, il risultato è + ∞.
• Se abs (x)> 1 ey è −∞, il risultato è +0.
• Se abs (x) == 1 ey è + ∞, il risultato è NaN.
• Se abs (x) == 1 e y è −∞, il risultato è NaN.
• Se abs (x) <1 ey è + ∞, il risultato è +0.
• Se abs (x) <1 ey è −∞, il risultato è + ∞.
• Se x è + ∞ e y> 0, il risultato è + ∞.
• Se x è + ∞ ey <0, il risultato è +0.
• Se x è −∞ ey> 0 e y è un numero intero dispari, il risultato è −∞.
• Se x è −∞ e y> 0 e y non è un numero intero dispari, il risultato è + ∞.
• Se x è −∞ ey <0 e y è un numero intero dispari, il risultato è −0.
• Se x è −∞ ey <0 e y non è un numero intero dispari, il risultato è +0.
• Se x è +0 e y> 0, il risultato è +0.
• Se x è +0 ey <0, il risultato è + ∞.
• Se x è −0 e y> 0 e y è un numero intero dispari, il risultato è −0.
• Se x è −0 e y> 0 e y non è un numero intero dispari, il risultato è +0.
• Se x è −0 ey <0 e y è un numero intero dispari, il risultato è −∞.
• Se x è −0 ey <0 e y non è un numero intero dispari, il risultato è + ∞.
• Se x <0 e x è finito ey è finito ey non è un numero intero, il risultato è NaN.

_{enfasi mia}

come regola generale, le funzioni native di qualsiasi lingua dovrebbero funzionare come descritto nella specifica della lingua. A volte questo include esplicitamente "comportamento indefinito" in cui spetta all'implementatore determinare quale dovrebbe essere il risultato, tuttavia questo non è un caso di comportamento indefinito.

È solo convenzione definirlo come 1, 0o lasciarlo undefined. La definizione è molto diffusa a causa della seguente definizione:

La documentazione di ECMA-Script dice quanto segue su pow(x,y):

• Se y è +0, il risultato è 1, anche se x è NaN.
• Se y è −0, il risultato è 1, anche se x è NaN.

[ http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-15.8.2.13 ]

Secondo Wikipedia:

Nella maggior parte delle impostazioni che non implicano continuità nell'esponente, interpretare 0 ⁰ come 1 semplifica le formule ed elimina la necessità di casi speciali nei teoremi.

Ci sono diversi modi possibili per trattare 0**0con pro e contro per ciascuno (vedi Wikipedia per una discussione estesa).

Lo standard a virgola mobile IEEE 754-2008 consiglia tre diverse funzioni:

• powtratta 0**0come 1. Questa è la versione definita più vecchia. Se la potenza è un intero esatto il risultato è lo stesso di pown, altrimenti il ​​risultato è come powr(salvo alcuni casi eccezionali).
• pownconsidera 0 ** 0 come 1. La potenza deve essere un numero intero esatto. Il valore è definito per basi negative; ad esempio, pown(−3,5)è −243.
• powrconsidera 0 ** 0 come NaN (Not-a-Number - undefined). Il valore è anche NaN per casi come powr(−3,2)dove la base è minore di zero. Il valore è definito da exp (power '× log (base)).

Donald Knuth

ha risolto questo dibattito nel 1992 con quanto segue:

Ed è andato ancora più nei dettagli nel suo articolo Two Notes on Notation .

Fondamentalmente, anche se non abbiamo 1 come limite f(x)/g(x)per tutte non tutte le funzioni f(x)e g(x), rende comunque la combinatoria molto più semplice da definire 0^0=1, e quindi crea casi speciali nei pochi posti in cui è necessario considerare funzioni come 0^x, quale sono strani comunque. Dopotutto x^0viene fuori molto più spesso.

Alcune delle migliori discussioni che conosco su questo argomento (oltre al documento di Knuth) sono:

• http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html
• http://www.quora.com/Mathematics/What-is-math-0-0-math?share=1
• /math/475337/the-binomial-formula-and-the-value-of-00

Quando vuoi sapere quale valore dovresti dare a f(a)quando fnon è calcolabile direttamente in a, calcoli il limite di fquando xtende verso a.

In caso di x^y, i limiti usuali tendono a 1quando xe ytendono a 0, e soprattutto x^xtendono a 1quando xtende a 0.

Vedi http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.3-5.shtml

La definizione del linguaggio C dice (7.12.7.4/2):

Può verificarsi un errore di dominio se x è zero ey è zero.

Dice anche (7.12.1 / 2):

In caso di errore di dominio, la funzione restituisce un valore definito dall'implementazione; se l'espressione intera math_errhandling & MATH_ERRNO è diversa da zero, l'espressione intera errno acquisisce il valore EDOM; se l'espressione intera math_errhandling & MATH_ERREXCEPT è diverso da zero, viene sollevata l'eccezione a virgola mobile "non valida".

Per impostazione predefinita, il valore di math_errhandlingè MATH_ERRNO, quindi controlla errnoil valore EDOM.

Vorrei essere in disaccordo con l'affermazione di alcune delle risposte precedenti secondo cui è una questione di convenzione o convenienza (coprendo alcuni casi speciali per vari teoremi, ecc.) Che 0 ^ 0 sia definito come 1 invece di 0.

L'esponenziazione in realtà non si adatta così bene alle nostre altre notazioni matematiche, quindi la definizione che impariamo tutti lascia spazio alla confusione. Un modo leggermente diverso di avvicinarsi è dire che a ^ b (o exp (a, b), se preferisci) restituisce il valore moltiplicativamente equivalente a moltiplicare qualche altra cosa per a, ripetuto b volte.

Quando moltiplichiamo 5 per 4, 2 volte, otteniamo 80. Abbiamo moltiplicato 5 per 16. Quindi 4 ^ 2 = 16.

Quando moltiplichi 14 per 0, 0 volte, ci rimane 14. Lo abbiamo moltiplicato 1. Quindi, 0 ^ 0 = 1.

Questa linea di pensiero potrebbe anche aiutare a chiarire esponenti negativi e frazionari. 4 ^ (- 2) è un sedicesimo, perché la "moltiplicazione negativa" è la divisione: dividiamo per quattro due volte.

a ^ (1/2) è la radice (a), perché moltiplicare qualcosa per la radice di a è metà del lavoro moltiplicativo come moltiplicarlo per a se stesso - dovresti farlo due volte per moltiplicare qualcosa per 4 = 4 ^ 1 = (4 ^ (1/2)) ^ 2

Per questo per capire è necessario risolvere il calcolo:

Espandendoci x^xintorno allo zero usando la serie Taylor, otteniamo:

Quindi per capire cosa sta succedendo con limite quando xva a zero, dobbiamo scoprire cosa sta succedendo con il secondo mandato x log(x), perché gli altri termini sono proporzionali ax log(x) a una certa potenza.

Dobbiamo usare la trasformazione:

Ora dopo questa trasformazione possiamo usare la regola di L'Hôpital , che afferma che:

Quindi differenziando quella trasformazione otteniamo:

Quindi abbiamo calcolato quel termine log(x)*x avvicina a 0 quando x si avvicina a 0. È facile vedere che anche altri termini consecutivi si avvicinano a zero e anche più velocemente del secondo termine.

Quindi, al punto x=0, la serie diventa 1 + 0 + 0 + 0 + ...e quindi è uguale a 1.