2 ^ n e n * 2 ^ n hanno la stessa complessità temporale?

Le risorse che ho trovato sulla complessità temporale non sono chiare su quando sia giusto ignorare i termini in un'equazione della complessità temporale, in particolare con esempi non polinomiali.

Mi è chiaro che dato qualcosa del modulo n ² + n + 1, gli ultimi due termini sono insignificanti.

In particolare, date due categorizzazioni, 2 ⁿ e n * (2 ⁿ ), il secondo è nello stesso ordine del primo? La moltiplicazione n aggiuntiva è importante? Di solito le risorse dicono solo x ⁿ è in modo esponenziale e cresce molto più velocemente ... quindi continua.

Posso capire perché non lo farebbe poiché 2 ⁿ supererà notevolmente n, ma poiché non vengono sommati insieme, importerebbe molto quando si confrontano le due equazioni, infatti la differenza tra loro sarà sempre un fattore di n, che sembra importante per non dire altro.

Dovrai andare alla definizione formale della grande O ( O) per rispondere a questa domanda.

La definizione f(x)appartiene a O(g(x))se e solo se esiste il limite , ovvero non è l'infinito. In breve, ciò significa che esiste una costante , tale che il valore di non è mai maggiore di .limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

Nel caso della tua domanda let and let . Allora è che crescerà ancora all'infinito. Pertanto non appartiene a .f(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n))

Un modo rapido per vedere che n⋅2ⁿè più grande è fare un cambiamento di variabile. Let m = 2ⁿ. Quindi n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m(prendendo il logaritmo in base 2 su entrambi i lati di m = 2ⁿdà n = log₂m), e puoi facilmente mostrare che m log₂mcresce più velocemente di m.

Sono d'accordo che n⋅2ⁿnon è inO(2ⁿ) , ma ho pensato che dovrebbe essere più esplicito poiché il limite di utilizzo superiore non sempre vale.

Dalla definizione formale di Big-O: f(n)è O(g(n))se esistono costanti c > 0e n₀ ≥ 0tali che per tutto ciò n ≥ n₀che abbiamo f(n) ≤ c⋅g(n). Si può facilmente dimostrare che non esistono tali costanti per f(n) = n⋅2ⁿe g(n) = 2ⁿ. Tuttavia, si può dimostrare che g(n)è inO(f(n)) .

In altre parole, n⋅2ⁿè limitato da 2ⁿ. Questo è intuitivo. Sebbene siano entrambi esponenziali e quindi è altrettanto improbabile che vengano utilizzati nella maggior parte delle circostanze pratiche, non possiamo dire che siano dello stesso ordine perché 2ⁿnecessariamente crescono più lentamente di n⋅2ⁿ.

Non discuto con altre risposte che affermano che n⋅2ⁿcresce più velocemente di 2ⁿ. Ma n⋅2ⁿcresce è ancora solo esponenziale.

Quando parliamo di algoritmi, spesso diciamo che la complessità del tempo aumenta è esponenziale. Quindi, che consideriamo 2ⁿ, 3ⁿ, eⁿ, 2.000001ⁿ, o la nostra n⋅2ⁿdi essere allo stesso gruppo di complessità esponenziale cresce.

Per dargli un po 'di senso matematico, consideriamo una funzione f(x)crescere (non più velocemente di) esponenzialmente se esiste una tale costante c > 1, chef(x) = O(cx) .

Poiché n⋅2ⁿla costante cpuò essere qualsiasi numero maggiore di 2, prendiamo3 . Poi:

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿe questo è inferiore a 1qualsiasi altro n.

Quindi 2ⁿcresce più lentamente di n⋅2ⁿ, l'ultimo a sua volta cresce più lentamente di 2.000001ⁿ. Ma tutti e tre crescono in modo esponenziale.

Hai chiesto "è il secondo nello stesso ordine del primo? La n moltiplicazione aggiuntiva conta?" Queste sono due domande diverse con due risposte diverse.

n 2 ^ n cresce asintoticamente più velocemente di 2 ^ n. Questa è la risposta a questa domanda.

Ma potresti chiedere "se l'algoritmo A richiede 2 ^ n nanosecondi e l'algoritmo B prende n 2 ^ n nanosecondi, qual è la più grande n dove posso trovare una soluzione in un secondo / minuto / ora / giorno / mese / mese? E le risposte sono n = 29/35/41/46/51/54 contro 25/30/36/40/45/49. Non molta differenza nella pratica.

La dimensione del problema più grande che può essere risolto nel tempo T è O (ln T) in entrambi i casi.