Sono || e ! operatori sufficienti a rendere ogni possibile espressione logica?

L'espressione logica ( a && b ) (entrambe ae bhanno valori booleani) può essere scritta come !(!a || !b), ad esempio. Questo non significa che &&è "inutile"? Questo significa che tutte le espressioni logiche possono essere fatte solo usando ||e !?

Sì, come sottolineato dalle altre risposte, l'insieme di operatori che comprende ||ed !è funzionalmente completo . Ecco una dimostrazione costruttiva di ciò, che mostra come usarli per esprimere tutti i sedici possibili connettivi logici tra le variabili booleane Ae B:

• Vero :A || !A
• A NAND B :!A || !B
• B implica A :!B || A
• A implica B :!A || B
• A OR B :A || B
• Non B :!B
• Non A :!A
• A XOR B :!(!A || B) || !(A || !B)
• A XNOR B :!(!A || !B) || !(A || B)
• A :A
• B :B
• A NOR B :!(A || B)
• A non implica B :!(!A || B)
• B non implica A :!(!B || A)
• A AND B :!(!A || !B)
• Falso :!(A || !A)

Si noti che sia NAND che NOR sono di per sé completi dal punto di vista funzionale (il che può essere dimostrato utilizzando lo stesso metodo sopra), quindi se si desidera verificare che un set di operatori sia funzionalmente completo, è sufficiente dimostrare che è possibile esprimere NAND o NOR con esso.

Ecco un grafico che mostra i diagrammi di Venn per ciascuno dei connettori sopra elencati:

[ fonte ]

Quello che stai descrivendo è completezza funzionale .

Questo descrive un insieme di operatori logici che è sufficiente per "esprimere tutte le possibili tabelle di verità". Il tuo set di operatori Java, { ||, !}, è sufficiente; corrisponde al set {∨, ¬}, che è elencato nella sezione "Set di operatori completi funzionalmente minimi".

L'insieme di tutte le tabelle di verità indica tutti i possibili insiemi di 4 valori booleani che possono essere il risultato di un'operazione tra 2 valori booleani. Poiché ci sono 2 possibili valori per un valore booleano, ci sono 2 ⁴ o 16 possibili tabelle di verità.

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

Ecco una tabella con i numeri della tabella della verità (0-15), le combinazioni ||e !che la producono e una descrizione.

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

Esistono molti altri set funzionalmente completi, inclusi i set di elementi {NAND} e {NOR}, che non hanno corrispondenti singoli operatori in Java.

Sì.

Tutte le porte logiche possono essere realizzate da porte NOR.

Poiché un gate NOR può essere creato da un NOT e un OR, il risultato segue.

Prenditi il ​​tempo di leggere le leggi di DeMorgan se puoi.

Lì troverai la risposta nella lettura, nonché riferimenti alle prove logiche.

Ma essenzialmente, la risposta è sì.

EDIT : Per esplicito, il mio punto è che si può inferire logicamente un'espressione OR da un'espressione AND e viceversa. Ci sono anche più leggi per l'equivalenza logica e l'inferenza, ma penso che questa sia la più adatta.

EDIT 2 : Ecco una prova tramite la tabella di verità che mostra l'equivalenza logica della seguente espressione.

Legge di DeMorgan: !(!A || !B) -> A && B

 _____________________________________________________
| A | B | ! A | ! B | ! A || ! B | ! (! A ||! B) | A && B |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
_______________________________________________________

NAND e NOR sono universali e possono essere utilizzati per creare qualsiasi operazione logica desiderata ovunque; altri operatori sono disponibili in linguaggi di programmazione per facilitare la scrittura e la creazione di codici leggibili.

Inoltre, tutte le operazioni logiche necessarie per essere cablate nel circuito vengono sviluppate utilizzando solo circuiti integrati NAND o NOR.

Sì, secondo l'algebra booleana, qualsiasi funzione booleana può essere espressa come una somma di minterm o un prodotto di maxterm, che si chiama forma normale canonica . Non vi è alcun motivo per cui tale logica non possa essere applicata agli stessi operatori utilizzati nell'informatica.

https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form