Qual è la differenza tra limite inferiore e limite stretto?

Con il riferimento a questa risposta , cos'è Theta (tight bound)?

Omega è il limite inferiore, abbastanza compreso, il tempo minimo che può richiedere un algoritmo. E sappiamo che Big-O è per il limite superiore, significa il tempo massimo che può richiedere un algoritmo. Ma non ho idea del Theta.

Big O è il limite superiore, mentre Omega è il limite inferiore. Theta richiede sia Big O che Omega, quindi è per questo che viene definito un limite stretto (deve essere sia il limite superiore che quello inferiore).

Ad esempio, un algoritmo che Omega(n log n)richiede almeno n log ntempo, ma non ha limiti superiori. Una presa di algoritmo Theta(n log n)è di gran lunga preferenziale poiché richiede almeno n log n (Omega n log n) e non più di n log n (Big On log n).

La notazione Θ ( notazione theta) è chiamata tight-bound perché è più precisa di notazione O e Ω notazione (omega notazione).

Se fossi pigro, potrei dire che la ricerca binaria su un array ordinato è O (n ² ), O (n ³ ) e O (2 ⁿ ), e sarei tecnicamente corretto in ogni caso. Questo perché la notazione O specifica solo un limite superiore e la ricerca binaria è limitata sul lato alto da tutte queste funzioni, ma non molto strettamente. Queste stime pigre sarebbero inutili .

La notazione Θ risolve questo problema combinando la notazione O e la notazione Ω. Se dico che la ricerca binaria è Θ (log n), ciò fornisce informazioni più precise. Ti dice che l'algoritmo è limitato su entrambi i lati dalla funzione data, quindi non sarà mai significativamente più veloce o più lento di quanto dichiarato.

Se hai qualcosa che è O (f (n)) significa che ci sono k , g (n) tali che f (n) ≤ kg (n) .

Se hai qualcosa che è Ω (f (n)) significa che ci sono k , g (n) tali che f (n) ≥ kg (n) .

E se hai qualcosa con O (f (n)) e Ω (f (n)) , allora è Θ (f (n) .

L' articolo di Wikipedia è decente, anche se un po 'denso.

Il limite superiore asintotico significa che un dato algoritmo viene eseguito durante il periodo di tempo massimo, a seconda del numero di input.

Prendiamo un algoritmo di ordinamento come esempio. Se tutti gli elementi di un array sono in ordine decrescente, per ordinarli occorrerà un tempo di esecuzione di O(n), mostrando la complessità del limite superiore. Se l'array è già ordinato, il valore sarà O(1).

Generalmente, O-notationviene utilizzato per la complessità del limite superiore.

Il limite asintoticamente stretto (c ₁ g (n) ≤ f (n) ≤ c ₂ g (n)) mostra la complessità del limite medio per una funzione, avente un valore tra i limiti del limite (limite superiore e limite inferiore), dove c ₁ e c ₂ sono costanti.

Le frasi tempo minimo e tempo massimo qui sono un po 'fuorvianti. Quando parliamo di grandi notazioni O, non è il tempo effettivo che ci interessa, è il modo in cui il tempo aumenta quando la nostra dimensione di input diventa più grande. E di solito stiamo parlando del tempo medio o peggiore, non del caso migliore , che di solito non è significativo per risolvere i nostri problemi.

Utilizzando la ricerca array nella risposta accettata all'altra domanda come esempio. Il tempo necessario per trovare un numero particolare nell'elenco di dimensione n è in media n / 2 * some_constant. Se lo tratti come una funzione f(n) = n/2*some_constant, non aumenta più velocemente di g(n) = n, nel senso dato da Charlie. Inoltre, aumenta non più lentamente di g(n)nessuno dei due. Quindi, g(n)è in realtà sia un limite superiore che un limite inferiore f(n)nella notazione Big-O, quindi la complessità della ricerca lineare è esattamente n , il che significa che è Theta (n).

A questo proposito, la spiegazione nella risposta accettata all'altra domanda non è del tutto corretta, la quale afferma che O (n) è il limite superiore perché l'algoritmo può funzionare a tempo costante per alcuni input (questo è il caso migliore che ho menzionato sopra, che non è proprio quello che vogliamo sapere sul tempo di esecuzione).

Se fossi pigro, potrei dire che la ricerca binaria su un array ordinato è O (n2), O (n3) e O (2n), e sarei tecnicamente corretto in ogni caso.

Possiamo usare la notazione o ("little-oh") per denotare un limite superiore che non è asintoticamente stretto. Sia grande-oh che piccolo-oh sono simili. Ma, big-oh è probabilmente usato per definire il limite superiore asintoticamente stretto.

Precisamente il limite inferiore o $ \ omega $ bfon f (n) indica l'insieme di funzioni che sono asintoticamente minori o uguali a f (n) ie U g (n) ≤ cf (n) $ \ per tutti $ `un≥ n 'Per alcuni c, n' $ \ in $ $ \ Bbb {N} $

E il limite superiore o $ \ mathit {O} $ su f (n) indica l'insieme di funzioni che sono assintoticamente maggiori o uguali a f (n) che matematicamente dice,

$ g (n) \ ge cf (n) \ per tutti n \ ge n '$, per alcuni c, n' $ \ in $ $ \ Bbb {N} $.

Ora $ \ Theta $ è l'intersezione dei due scritti sopra

$\theta $

Come se un algoritmo fosse come "esattamente $ \ Omega \ left (f (n) \ right $", allora è meglio dire che è $ \ Theta \ left (f (n) \ right) $.

Oppure, possiamo anche dire che ci dà la velocità effettiva dove $ \omega $ci dà il limite più basso.

La differenza fondamentale tra

Blockquote

asintoticamente limite superiore e asintoticamente stretto Asym. supersbound indica un dato algoritmo che può essere eseguito con la massima quantità di tempo a seconda del numero di input, ad esempio nell'algoritmo di ordinamento se tutti gli elementi dell'array (n) sono in ordine decrescente, quindi per ascenderli esso richiederà un tempo di esecuzione di O (n) che mostra la complessità del limite superiore, ma se sono già ordinati ci vorrà ohm (1). Quindi generalmente abbiamo usato la notazione "O" per la complessità del limite superiore.

Asym. il limite stretto mostra che per eg (c1g (n) <= f (n) <= c2g (n)) mostra il limite stretto in modo tale che la funzione abbia il valore tra due limiti (limite superiore e limite inferiore), dando il caso medio.