Funzione inversa moltiplicativa modulare in Python

Qualche modulo Python standard contiene una funzione per calcolare l'inverso moltiplicativo modulare di un numero, cioè un numero y = invmod(x, p)tale che x*y == 1 (mod p)? Google non sembra dare buoni suggerimenti su questo.

Certo, si possono inventare 10 linee fatte in casa di algoritmo euclideo esteso , ma perché reinventare la ruota.

Ad esempio, il metodo BigIntegerhas di Java modInverse. Python non ha qualcosa di simile?

Forse qualcuno lo troverà utile (da wikibooks ):

def egcd(a, b):
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    else:
        g, y, x = egcd(b % a, a)
        return (g, x - (b // a) * y, y)

def modinv(a, m):
    g, x, y = egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise Exception('modular inverse does not exist')
    else:
        return x % m

Se il tuo modulo è primo (lo chiami p), puoi semplicemente calcolare:

y = x**(p-2) mod p  # Pseudocode

O in Python vero e proprio:

y = pow(x, p-2, p)

Ecco qualcuno che ha implementato alcune funzionalità di teoria dei numeri in Python: http://www.math.umbc.edu/~campbell/Computers/Python/numbthy.html

Ecco un esempio eseguito al prompt:

m = 1000000007
x = 1234567
y = pow(x,m-2,m)
y
989145189L
x*y
1221166008548163L
x*y % m
1L

Potresti anche voler guardare il modulo gmpy . È un'interfaccia tra Python e la libreria GMP a precisione multipla. gmpy fornisce una funzione di inversione che fa esattamente ciò di cui hai bisogno:

>>> import gmpy
>>> gmpy.invert(1234567, 1000000007)
mpz(989145189)

Risposta aggiornata

Come notato da @hyh, gmpy.invert()restituisce 0 se l'inverso non esiste. Ciò corrisponde al comportamento della mpz_invert()funzione GMP . gmpy.divm(a, b, m)fornisce una soluzione generale a a=bx (mod m).

>>> gmpy.divm(1, 1234567, 1000000007)
mpz(989145189)
>>> gmpy.divm(1, 0, 5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 8)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: not invertible
>>> gmpy.divm(1, 4, 9)
mpz(7)

divm()restituirà una soluzione quando gcd(b,m) == 1e solleverà un'eccezione quando l'inverso moltiplicativo non esiste.

Disclaimer: sono l'attuale manutentore della libreria gmpy.

Risposta aggiornata 2

gmpy2 ora solleva correttamente un'eccezione quando l'inverso non esiste:

>>> import gmpy2

>>> gmpy2.invert(0,5)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ZeroDivisionError: invert() no inverse exists

A partire da 3,8 pitoni la funzione pow () può assumere un modulo e un numero intero negativo. Vedi qui . Il loro caso su come usarlo è

>>> pow(38, -1, 97)
23
>>> 23 * 38 % 97 == 1
True

Ecco un one-liner per CodeFights ; è una delle soluzioni più brevi:

MMI = lambda A, n,s=1,t=0,N=0: (n < 2 and t%N or MMI(n, A%n, t, s-A//n*t, N or n),-1)[n<1]

Tornerà -1se Anon ha un inverso moltiplicativo in n.

Uso:

MMI(23, 99) # returns 56
MMI(18, 24) # return -1

La soluzione utilizza l' algoritmo euclideo esteso .

Sympy , un modulo python per la matematica simbolica, ha una funzione inversa modulare incorporata se non vuoi implementare la tua (o se stai già usando Sympy):

from sympy import mod_inverse

mod_inverse(11, 35) # returns 16
mod_inverse(15, 35) # raises ValueError: 'inverse of 15 (mod 35) does not exist'

Questo non sembra essere documentato sul sito web di Sympy, ma ecco la docstring: Sympy mod_inverse docstring su Github

Ecco il mio codice, potrebbe essere sciatto ma sembra funzionare comunque per me.

# a is the number you want the inverse for
# b is the modulus

def mod_inverse(a, b):
    r = -1
    B = b
    A = a
    eq_set = []
    full_set = []
    mod_set = []

    #euclid's algorithm
    while r!=1 and r!=0:
        r = b%a
        q = b//a
        eq_set = [r, b, a, q*-1]
        b = a
        a = r
        full_set.append(eq_set)

    for i in range(0, 4):
        mod_set.append(full_set[-1][i])

    mod_set.insert(2, 1)
    counter = 0

    #extended euclid's algorithm
    for i in range(1, len(full_set)):
        if counter%2 == 0:
            mod_set[2] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[4]+mod_set[2]
            mod_set[3] = full_set[-1*(i+1)][1]

        elif counter%2 != 0:
            mod_set[4] = full_set[-1*(i+1)][3]*mod_set[2]+mod_set[4]
            mod_set[1] = full_set[-1*(i+1)][1]

        counter += 1

    if mod_set[3] == B:
        return mod_set[2]%B
    return mod_set[4]%B

Il codice sopra non verrà eseguito in python3 ed è meno efficiente rispetto alle varianti GCD. Tuttavia, questo codice è molto trasparente. Mi ha spinto a creare una versione più compatta:

def imod(a, n):
 c = 1
 while (c % a > 0):
     c += n
 return c // a

Ecco un conciso 1-liner che lo fa, senza utilizzare alcuna libreria esterna.

# Given 0<a<b, returns the unique c such that 0<c<b and a*c == gcd(a,b) (mod b).
# In particular, if a,b are relatively prime, returns the inverse of a modulo b.
def invmod(a,b): return 0 if a==0 else 1 if b%a==0 else b - invmod(b%a,a)*b//a

Nota che questo è in realtà solo egcd, semplificato per restituire solo il singolo coefficiente di interesse.

Per capire l'inverso moltiplicativo modulare, consiglio di utilizzare l'algoritmo euclideo esteso in questo modo:

def multiplicative_inverse(a, b):
    origA = a
    X = 0
    prevX = 1
    Y = 1
    prevY = 0
    while b != 0:
        temp = b
        quotient = a/b
        b = a%b
        a = temp
        temp = X
        a = prevX - quotient * X
        prevX = temp
        temp = Y
        Y = prevY - quotient * Y
        prevY = temp

    return origA + prevY

Provo diverse soluzioni da questo thread e alla fine utilizzo questo:

def egcd(a, b):
    lastremainder, remainder = abs(a), abs(b)
    x, lastx, y, lasty = 0, 1, 1, 0
    while remainder:
        lastremainder, (quotient, remainder) = remainder, divmod(lastremainder, remainder)
        x, lastx = lastx - quotient*x, x
        y, lasty = lasty - quotient*y, y
    return lastremainder, lastx * (-1 if a < 0 else 1), lasty * (-1 if b < 0 else 1)


def modinv(a, m):
    g, x, y = self.egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise ValueError('modinv for {} does not exist'.format(a))
    return x % m

Modular_inverse in Python

Bene, non ho una funzione in python ma ho una funzione in C che puoi facilmente convertire in python, nella funzione c sotto viene utilizzato l'algoritmo euclideo esteso per calcolare la mod inversa.

int imod(int a,int n){
int c,i=1;
while(1){
    c = n * i + 1;
    if(c%a==0){
        c = c/a;
        break;
    }
    i++;
}
return c;}

Funzione Python

def imod(a,n):
  i=1
  while True:
    c = n * i + 1;
    if(c%a==0):
      c = c/a
      break;
    i = i+1

  return c

Il riferimento alla funzione C sopra è preso dal seguente collegamento programma C per trovare l'inverso moltiplicativo modulare di due numeri primi relativi

dal codice sorgente dell'implementazione cpython :

def invmod(a, n):
    b, c = 1, 0
    while n:
        q, r = divmod(a, n)
        a, b, c, n = n, c, b - q*c, r
    # at this point a is the gcd of the original inputs
    if a == 1:
        return b
    raise ValueError("Not invertible")

secondo il commento sopra questo codice, può restituire piccoli valori negativi, quindi potresti potenzialmente controllare se negativo e aggiungere n quando negativo prima di restituire b.

Molti dei collegamenti sopra riportati sono interrotti come per il 23/01/2017. Ho trovato questa implementazione: https://courses.csail.mit.edu/6.857/2016/files/ffield.py