Dal punto di vista meccanico, la risposta accettata è, ovviamente, corretta, ma direi che si può dare una risposta più profonda.
Innanzitutto, è utile chiarire la domanda come fa @PeterCordes in un commento: "Esiste un'identità moltiplicativa per numeri complessi che funziona su inf + 0j?" o in altre parole è ciò che OP vede come debolezza nell'implementazione al computer di moltiplicazioni complesse o c'è qualcosa di concettualmente non corretto coninf+0j
Risposta breve:
Usando le coordinate polari possiamo vedere la moltiplicazione complessa come una scala e una rotazione. Ruotando un "braccio" infinito anche di 0 gradi come nel caso della moltiplicazione per uno non possiamo aspettarci di posizionare la sua punta con una precisione finita. Quindi, in effetti, c'è qualcosa di fondamentalmente non giusto inf+0j, vale a dire che non appena siamo all'infinito un offset finito diventa privo di significato.
Risposta lunga:
Background: la "cosa importante" attorno a cui ruota questa domanda è la questione dell'estensione di un sistema di numeri (si pensi ai numeri reali o complessi). Uno dei motivi per cui si potrebbe desiderare di farlo è aggiungere un concetto di infinito o "compattarsi" se si è matematici. Ci sono anche altri motivi ( https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory , https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis ), ma qui non ci interessano.
Un punto di compattazione
La parte complicata di tale estensione è, ovviamente, che vogliamo che questi nuovi numeri si adattino all'aritmetica esistente. Il modo più semplice è aggiungere un singolo elemento all'infinito ( https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension ) e renderlo uguale a tutto tranne che a zero diviso per zero. Questo funziona per i reali ( https://en.wikipedia.org/wiki/Projectively_extended_real_line ) e per i numeri complessi ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere ).
Altre estensioni ...
Sebbene la compattazione a un punto sia semplice e matematicamente valida, sono state cercate estensioni "più ricche" comprendenti infiniti multipli. Lo standard IEEE 754 per i numeri in virgola mobile reali ha + inf e -inf ( https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line ). Sembra naturale e diretto, ma ci costringe già a fare i salti mortali e inventare cose come -0 https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero
... dell'aereo complesso
E le estensioni più di una inf del piano complesso?
Nei computer, i numeri complessi vengono tipicamente implementati unendo due reali fp insieme uno per la parte reale e uno per la parte immaginaria. Va benissimo finché tutto è finito. Tuttavia, non appena gli infiniti vengono considerati, le cose diventano complicate.
Il piano complesso ha una simmetria rotazionale naturale, che si lega bene con l'aritmetica complessa poiché moltiplicare l'intero piano per e ^ phij è la stessa di una rotazione phi radiante intorno 0.
Quella cosa dell'allegato G.
Ora, per mantenere le cose semplici, complesse fp usa semplicemente le estensioni (+/- inf, nan ecc.) Dell'implementazione del numero reale sottostante. Questa scelta può sembrare così naturale da non essere nemmeno percepita come una scelta, ma diamo un'occhiata più da vicino a cosa implica. Una semplice visualizzazione di questa estensione del piano complesso appare come (I = infinito, f = finito, 0 = 0)
I IIIIIIIII I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I IIIIIIIII I
Ma poiché un vero piano complesso è quello che rispetta la moltiplicazione complessa, sarebbe una proiezione più informativa
III
I I
fffff
fffffff
fffffffff
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
fffffffff
fffffff
fffff
I I
III
In questa proiezione vediamo la "distribuzione irregolare" degli infiniti che non è solo brutta ma anche la radice dei problemi del tipo che OP ha sofferto: la maggior parte degli infiniti (quelli delle forme (+/- inf, finite) e (finite, + / -inf) sono raggruppati nelle quattro direzioni principali tutte le altre direzioni sono rappresentate solo da quattro infiniti (+/- inf, + -inf) .Non dovrebbe sorprendere che estendere la moltiplicazione complessa a questa geometria sia un incubo .
L'allegato G della specifica C99 fa del suo meglio per farlo funzionare, compreso il piegamento delle regole su come infe naninteragire (essenzialmente inftrionfi nan). Il problema di OP viene aggirato non promuovendo i reali e un tipo proposto puramente immaginario a complesso, ma il fatto che il reale 1 si comporti in modo diverso dal complesso 1 non mi sembra una soluzione. Significativamente, l'allegato G non specifica completamente quale dovrebbe essere il prodotto di due infiniti.
Possiamo fare di meglio?
Si è tentati di provare a risolvere questi problemi scegliendo una migliore geometria degli infiniti. In analogia alla linea reale estesa potremmo aggiungere un infinito per ogni direzione. Questa costruzione è simile al piano proiettivo ma non raggruppa le direzioni opposte. Le infinità sarebbero rappresentate in coordinate polari inf xe ^ {2 omega pi i}, definire i prodotti sarebbe semplice. In particolare, il problema di OP verrebbe risolto in modo del tutto naturale.
Ma è qui che finisce la buona notizia. In un certo senso possiamo essere riportati al punto di partenza --- non irragionevolmente --- richiedendo che i nostri infiniti di nuovo stile supportino funzioni che estraggono le loro parti reali o immaginarie. L'addizione è un altro problema; aggiungendo due infiniti non antipodali dovremmo impostare l'angolo su undefined ie nan(si potrebbe sostenere che l'angolo deve trovarsi tra i due angoli di input ma non esiste un modo semplice per rappresentare quella "nanometria parziale")
Riemann in soccorso
Alla luce di tutto ciò, forse la buona vecchia compattazione a un punto è la cosa più sicura da fare. Forse gli autori dell'Allegato G la pensavano allo stesso modo quando imponevano una funzione cprojche raggruppasse tutti gli infiniti.
Ecco una domanda correlata a cui hanno risposto persone più competenti in materia di me.
