Genera un punto casuale all'interno di un cerchio (uniformemente)

Ho bisogno di generare un punto uniformemente casuale all'interno di un cerchio di raggio R .

Mi rendo conto che selezionando semplicemente un angolo uniformemente casuale nell'intervallo [0 ... 2π) e un raggio uniformemente casuale nell'intervallo (0 ... R ), finirei con più punti verso il centro, dato che per due raggi, i punti nel raggio più piccolo saranno più vicini tra loro che per i punti nel raggio più grande.

Ho trovato un post sul blog qui, ma non capisco il suo ragionamento. Suppongo che sia corretto, ma vorrei davvero capire da dove ottiene (2 / R ² ) × re come si ricava la soluzione finale.

Aggiornamento: 7 anni dopo aver pubblicato questa domanda, non avevo ancora ricevuto una risposta soddisfacente sulla domanda reale riguardante la matematica dietro l'algoritmo radice quadrata. Quindi ho passato una giornata a scrivere una risposta da solo. Link alla mia risposta .

Avviciniamoci come avrebbe fatto Archimede.

Come possiamo generare un punto uniformemente in un triangolo ABC, dove | AB | = | BC |? Rendiamolo più semplice estendendo ad un parallelogramma ABCD. È facile generare punti uniformemente in ABCD. Scegliamo uniformemente un punto casuale X su AB e Y su BC e scegliamo Z in modo tale che XBYZ sia un parallelogramma. Per ottenere un punto scelto in modo uniforme nel triangolo originale, pieghiamo tutti i punti che appaiono in ADC di nuovo in ABC lungo AC.

Ora considera un cerchio. Al limite possiamo pensarlo come infiniti triangoli di isocele ABC con B all'origine e A e C sulla circonferenza che svaniscono ravvicinati. Possiamo scegliere uno di questi triangoli semplicemente selezionando un angolo theta. Quindi ora dobbiamo generare una distanza dal centro selezionando un punto nel nastro ABC. Ancora una volta, estendi a ABCD, dove D è ora il doppio del raggio dal centro del cerchio.

Scegliere un punto casuale in ABCD è facile usando il metodo sopra. Scegli un punto casuale su AB. Scegli uniformemente un punto casuale su BC. Vale a dire. scegli una coppia di numeri casuali xey in modo uniforme su [0, R] dando le distanze dal centro. Il nostro triangolo è un sottile nastro, quindi AB e BC sono sostanzialmente paralleli. Quindi il punto Z è semplicemente una distanza x + y dall'origine. Se x + y> R si ripiega verso il basso.

Ecco l'algoritmo completo per R = 1. Spero che tu sia d'accordo è piuttosto semplice. Utilizza trig, ma puoi dare una garanzia su quanto tempo impiegherà e su quante random()chiamate ha bisogno, a differenza del campionamento di rifiuto.

t = 2*pi*random()
u = random()+random()
r = if u>1 then 2-u else u
[r*cos(t), r*sin(t)]

Eccolo in Mathematica.

f[] := Block[{u, t, r},
  u = Random[] + Random[];
  t = Random[] 2 Pi;
  r = If[u > 1, 2 - u, u];
  {r Cos[t], r Sin[t]}
]

ListPlot[Table[f[], {10000}], AspectRatio -> Automatic]

Come generare un punto casuale all'interno di un cerchio di raggio R :

r = R * sqrt(random())
theta = random() * 2 * PI

(Supponendo che random()dia un valore tra 0 e 1 uniformemente)

Se vuoi convertirlo in coordinate cartesiane, puoi farlo

x = centerX + r * cos(theta)
y = centerY + r * sin(theta)

Perché sqrt(random())?

Diamo un'occhiata alla matematica che porta a sqrt(random()). Supponiamo per semplicità che stiamo lavorando con il cerchio unitario, cioè R = 1.

La distanza media tra i punti dovrebbe essere la stessa indipendentemente da quanto guardiamo dal centro. Ciò significa, ad esempio, che osservando il perimetro di un cerchio con circonferenza 2 dovremmo trovare il doppio dei punti rispetto al numero di punti sul perimetro di un cerchio con circonferenza 1.

Poiché la circonferenza di un cerchio (2π r ) cresce linearmente con r , ne consegue che il numero di punti casuali dovrebbe crescere linearmente con r . In altre parole, la funzione di densità di probabilità desiderata (PDF) cresce in modo lineare. Poiché un PDF dovrebbe avere un'area uguale a 1 e il raggio massimo è 1, abbiamo

Quindi sappiamo come dovrebbe apparire la densità desiderata dei nostri valori casuali. Ora: come possiamo generare un valore così casuale quando tutto ciò che abbiamo è un valore casuale uniforme tra 0 e 1?

Usiamo un trucco chiamato campionamento di trasformazioni inverse

1. Dal PDF, creare la funzione di distribuzione cumulativa (CDF)
2. Specchia questo lungo y = x
3. Applicare la funzione risultante su un valore uniforme compreso tra 0 e 1.

Sembra complicato? Permettetemi di inserire una blockquote con un piccolo binario laterale che trasmetta l'intuizione:

Supponiamo di voler generare un punto casuale con la seguente distribuzione:

                

Questo è

• 1/5 dei punti uniformemente tra 1 e 2, e
• 4/5 dei punti uniformemente tra 2 e 3.

Il CDF è, come suggerisce il nome, la versione cumulativa del PDF. Intuitivamente: mentre PDF ( x ) descrive il numero di valori casuali in x , CDF ( x ) descrive il numero di valori casuali inferiore a x .

In questo caso il CDF sarebbe simile a:

                

Per vedere come questo sia utile, immagina di sparare proiettili da sinistra a destra ad altezze uniformemente distribuite. Quando i proiettili colpiscono la linea, cadono a terra:

                

Guarda come la densità dei proiettili sul terreno corrisponde alla nostra distribuzione desiderata! Ci siamo quasi!

Il problema è che per questa funzione, l' asse y è l' output e l' asse x è l' input . Possiamo solo "sparare proiettili da terra verso l'alto"! Abbiamo bisogno della funzione inversa!

Questo è il motivo per cui rispecchiamo tutto; x diventa y e y diventa x :

                

Questo CDF viene chiamato ^-1 . Per ottenere valori in base alla distribuzione desiderata, utilizziamo CDF ^-1 (random ()).

... quindi, tornando a generare valori di raggio casuali in cui il nostro PDF è uguale a 2 x .

Passaggio 1: creare il CDF:

poiché stiamo lavorando con reals, il CDF è espresso come integrale del PDF.

CDF ( x ) = ∫ 2 x = x ²

Passaggio 2: eseguire il mirroring del CDF lungo y = x :

Matematicamente questo si riduce a scambiare x e y e risolvendo per y :

CDF :      y = x ²
Swap:    x = y ²
Risolvi:    y = √ x
CDF ^-1 :   y = √ x

Passaggio 3: applicare la funzione risultante a un valore uniforme compreso tra 0 e 1

CDF ^-1 (random ()) = √random ()

Questo è ciò che abbiamo deciso di derivare :-)

Ecco una soluzione semplice e veloce.

Scegli due numeri casuali nell'intervallo (0, 1), vale a dire ae b. Se b < a, scambiali. Il tuo punto è (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)).

Puoi pensare a questa soluzione come segue. Se prendessi il cerchio, lo tagliassi, poi lo raddrizzassi, otterrai un triangolo rettangolo. Scala quel triangolo verso il basso, e si avrebbe un triangolo da (0, 0)a (1, 0)a (1, 1)e poi di nuovo a (0, 0). Tutte queste trasformazioni cambiano la densità in modo uniforme. Quello che hai fatto è stato uniformemente selezionato un punto casuale nel triangolo e invertito il processo per ottenere un punto nel cerchio.