Facciamo fooindicizzare un tipo induttivo x : X.
Parameter X : Type.
Inductive foo : X -> Type :=
| constr : forall (x : X), foo x.
Sono curioso, se foo x = foo yimplica x = y. Sono fuori di idee su come dimostrarlo.
Lemma type_equality_implies_index_equality : forall (x y : X), foo x = foo y -> x = y.
Se questo non può essere provato, perché?
Risposte:
Non può essere provato. Considera il seguente caso speciale del teorema, quando impostiamo X := bool:
foo true = foo false -> true = false
Dato che truee falsesono diversi, se il teorema fosse dimostrabile, dovrebbe essere possibile dimostrarlo foo truee foo falsesono diversi. Il problema è che questi due tipi sono isomorfi :
Inductive foo : bool -> Type :=
| constr : forall (x : bool), foo x.
(* An isomorphism between foo true and foo false *)
Definition foo_t_f (x : foo true) : foo false := constr false.
Definition foo_f_t (x : foo false) : foo true := constr true.
(* Proofs that the functions are inverses of each other *)
Lemma foo_t_fK x : foo_f_t (foo_t_f x) = x.
Proof. unfold foo_f_t, foo_t_f. now destruct x. Qed.
Lemma foo_f_tK x : foo_t_f (foo_f_t x) = x.
Proof. unfold foo_f_t, foo_t_f. now destruct x. Qed.
Nella teoria di Coq, non è possibile dimostrare che due tipi isomorfi sono diversi senza assumere assiomi extra. Questo è il motivo per cui un'estensione della teoria di Coq come quella del tipo di omotopia è valida. In HoTT, i tipi isomorfi possono essere mostrati uguali e se fosse possibile dimostrare il tuo teorema, HoTT sarebbe incoerente.
(x <> y) -> (foo x <> foo y)? Sono davvero confuso in questo mondo senza principio di mezzo escluso.