Valori iniziali predefiniti che adattano la regressione logistica con glm

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Mi chiedo come siano specificati i valori iniziali predefiniti glm.

Questo post suggerisce che i valori predefiniti sono impostati come zeri. Questo uno dice che c'è un algoritmo dietro di esso, tuttavia relativo link è rotto.

Ho provato ad adattare il modello di regressione logistica semplice con la traccia dell'algoritmo:

set.seed(123)

x <- rnorm(100)
p <- 1/(1 + exp(-x))
y <- rbinom(100, size = 1, prob = p)

# to see parameter estimates in each step
trace(glm.fit, quote(print(coefold)), at = list(c(22, 4, 8, 4, 19, 3)))

Innanzitutto, senza la specifica dei valori iniziali:

glm(y ~ x, family = "binomial")

Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
NULL
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.386379 1.106234
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3991135 1.1653971
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3995188 1.1669508

Nel primo passaggio, i valori iniziali sono NULL.

In secondo luogo, ho impostato i valori iniziali su zero:

glm(y ~ x, family = "binomial", start = c(0, 0))

Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0 0
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3177530 0.9097521
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3909975 1.1397163
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3994147 1.1666173
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3995191 1.1669518

E possiamo vedere che le iterazioni tra il primo e il secondo approccio differiscono.

Per vedere i valori iniziali specificati da glmho provato ad adattare il modello con una sola iterazione:

glm(y ~ x, family = "binomial", control = list(maxit = 1))

Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
NULL

Call:  glm(formula = y ~ x, family = "binomial", control = list(maxit = 1))

Coefficients:
(Intercept)            x  
     0.3864       1.1062  

Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null);  98 Residual
Null Deviance:      134.6 
Residual Deviance: 115  AIC: 119

Le stime dei parametri (non a caso) corrispondono alle stime del primo approccio nella seconda iterazione, ovvero l' [1] 0.386379 1.106234 impostazione di questi valori come valori iniziali porta alla stessa sequenza di iterazioni del primo approccio:

glm(y ~ x, family = "binomial", start = c(0.386379, 1.106234))

Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.386379 1.106234
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3991135 1.1653971
Tracing glm.fit(x = structure(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,  .... step 22,4,8,4,19,3 
[1] 0.3995188 1.1669508

Quindi la domanda è: come vengono calcolati questi valori?

r  logistic-regression  glm 
— Adela
fonte
È complicato. Se si forniscono startvalori, vengono utilizzati nel calcolo di ciò che viene passato alla C_Cdqrlsroutine. In caso contrario, i valori che vengono passati vengono calcolati (inclusa una chiamata eval(binomial()$initialize)), ma glm.fitnon calcola mai esplicitamente i valori per start. Prendi un'ora o due e studia il glm.fitcodice.
— Roland
Grazie per il commento. Ho provato a studiare il glm.fitcodice ma non ho ancora idea di come vengano calcolati i valori iniziali.
— Adela

Risposte:

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TL; DR

  • start=c(b0,b1)inizializza eta su b0+x*b1(mu su 1 / (1 + exp (-eta)))
  • start=c(0,0) inizializza eta su 0 (mu su 0,5) indipendentemente dal valore y o x.
  • start=NULL inizializza eta = 1.098612 (mu = 0.75) se y = 1, indipendentemente dal valore x.

  • start=NULL inizializza eta = -1,098612 (mu = 0,25) se y = 0, indipendentemente dal valore x.

  • Una volta che eta (e di conseguenza mu e var (mu)) è stato calcolato we zviene calcolato e inviato a un risolutore QR, nello spirito di qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w).

Forma lunga

Costruendo il commento di Roland: ho fatto un glm.fit.truncated(), dove ho preso glm.fitla C_Cdqrlschiamata e poi l'ho commentato. glm.fit.truncatedgenera i valori ze w(così come i valori delle quantità usate per calcolare ze w) che sarebbero poi passati alla C_Cdqrlschiamata:

## call Fortran code via C wrapper
fit <- .Call(C_Cdqrls, x[good, , drop = FALSE] * w, z * w,
             min(1e-7, control$epsilon/1000), check=FALSE)

Altro può essere letto C_Cdqrls qui . Fortunatamente, la funzione qr.solvenella base R attinge direttamente alle versioni LINPACK invocate glm.fit().

Quindi corriamo glm.fit.truncatedper le diverse specifiche del valore iniziale, quindi facciamo una chiamata qr.solvecon i valori w e z e vediamo come vengono calcolati i "valori iniziali" (oi primi valori di iterazione visualizzati). Come indicato da Roland, specificare start=NULLo start=c(0,0)in glm () influenza i calcoli per w e z, non per start.

Per start = NULL: zè un vettore in cui gli elementi hanno il valore 2.431946 o -2.431946 ed wè un vettore in cui tutti gli elementi sono 0.4330127:

start.is.null <- glm.fit.truncated(x,y,family=binomial(), start=NULL)
start.is.null
w <- start.is.null$w
z <- start.is.null$z
## if start is NULL, the first displayed values are:
qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w)  
# > qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w)  
#                 x 
# 0.386379 1.106234

Per l'inizio = c (0,0): zè un vettore in cui gli elementi hanno il valore 2 o -2 ed wè un vettore in cui tutti gli elementi sono 0,5:

## if start is c(0,0)    
start.is.00 <- glm.fit.truncated(x,y,family=binomial(), start=0)
start.is.00
w <- start.is.00$w
z <- start.is.00$z
## if start is c(0,0), the first displayed values are:    
qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w)  
# > qr.solve(cbind(1,x) * w, z*w)  
#                   x 
# 0.3177530 0.9097521

Quindi va tutto bene, ma come calcoliamo we z? Vicino al fondo glm.fit.truncated()vediamo

z <- (eta - offset)[good] + (y - mu)[good]/mu.eta.val[good]
w <- sqrt((weights[good] * mu.eta.val[good]^2)/variance(mu)[good])

Guarda i seguenti confronti tra i valori emessi delle quantità utilizzate per calcolare ze w:

cbind(y, start.is.null$mu, start.is.00$mu)
cbind(y, start.is.null$eta, start.is.00$eta)
cbind(start.is.null$var_mu, start.is.00$var_mu)
cbind(start.is.null$mu.eta.val, start.is.00$mu.eta.val)

Si noti che start.is.00avrà un vettore mucon solo i valori 0,5 poiché eta è impostato su 0 e mu (eta) = 1 / (1 + exp (-0)) = 0,5. start.is.nullimposta quelli con y = 1 come mu = 0,75 (che corrisponde a eta = 1,098612) e quelli con y = 0 come mu = 0,25 (che corrisponde a eta = -1,098612), e quindi var_mu= 0,75 * 0,25 = 0,1875.

Tuttavia, è interessante notare che ho cambiato il seme e rieseguito tutto e mu = 0,75 per y = 1 e mu = 0,25 per y = 0 (e quindi le altre quantità sono rimaste invariate). Vale a dire, start = NULL dà origine allo stesso we zindipendentemente da cosa ye cosa xsono, perché inizializzano eta = 1.098612 (mu = 0.75) se y = 1 ed eta = -1.098612 (mu = 0.25) se y = 0.

Quindi sembra che un valore iniziale per il coefficiente di intercettazione e per il coefficiente X non sia impostato per start = NULL, ma piuttosto i valori iniziali sono dati a eta in base al valore y e indipendentemente dal valore x. Da lì we zvengono calcolati, quindi inviati insieme xal qr.solver.

Codice da eseguire prima dei blocchi sopra:

set.seed(123)

x <- rnorm(100)
p <- 1/(1 + exp(-x))
y <- rbinom(100, size = 1, prob = p)


glm.fit.truncated <- function(x, y, weights = rep.int(1, nobs), 
start = 0,etastart = NULL, mustart = NULL, 
offset = rep.int(0, nobs),
family = binomial(), 
control = list(), 
intercept = TRUE,
singular.ok = TRUE
){
control <- do.call("glm.control", control)
x <- as.matrix(x)
xnames <- dimnames(x)[[2L]]
ynames <- if(is.matrix(y)) rownames(y) else names(y)
conv <- FALSE
nobs <- NROW(y)
nvars <- ncol(x)
EMPTY <- nvars == 0
## define weights and offset if needed
if (is.null(weights))
  weights <- rep.int(1, nobs)
if (is.null(offset))
  offset <- rep.int(0, nobs)

## get family functions:
variance <- family$variance
linkinv  <- family$linkinv
if (!is.function(variance) || !is.function(linkinv) )
  stop("'family' argument seems not to be a valid family object", call. = FALSE)
dev.resids <- family$dev.resids
aic <- family$aic
mu.eta <- family$mu.eta
unless.null <- function(x, if.null) if(is.null(x)) if.null else x
valideta <- unless.null(family$valideta, function(eta) TRUE)
validmu  <- unless.null(family$validmu,  function(mu) TRUE)
if(is.null(mustart)) {
  ## calculates mustart and may change y and weights and set n (!)
  eval(family$initialize)
} else {
  mukeep <- mustart
  eval(family$initialize)
  mustart <- mukeep
}
if(EMPTY) {
  eta <- rep.int(0, nobs) + offset
  if (!valideta(eta))
    stop("invalid linear predictor values in empty model", call. = FALSE)
  mu <- linkinv(eta)
  ## calculate initial deviance and coefficient
  if (!validmu(mu))
    stop("invalid fitted means in empty model", call. = FALSE)
  dev <- sum(dev.resids(y, mu, weights))
  w <- sqrt((weights * mu.eta(eta)^2)/variance(mu))
  residuals <- (y - mu)/mu.eta(eta)
  good <- rep_len(TRUE, length(residuals))
  boundary <- conv <- TRUE
  coef <- numeric()
  iter <- 0L
} else {
  coefold <- NULL
  eta <-
    if(!is.null(etastart)) etastart
  else if(!is.null(start))
    if (length(start) != nvars)
      stop(gettextf("length of 'start' should equal %d and correspond to initial coefs for %s", nvars, paste(deparse(xnames), collapse=", ")),
           domain = NA)
  else {
    coefold <- start
    offset + as.vector(if (NCOL(x) == 1L) x * start else x %*% start)
  }
  else family$linkfun(mustart)
  mu <- linkinv(eta)
  if (!(validmu(mu) && valideta(eta)))
    stop("cannot find valid starting values: please specify some", call. = FALSE)
  ## calculate initial deviance and coefficient
  devold <- sum(dev.resids(y, mu, weights))
  boundary <- conv <- FALSE

  ##------------- THE Iteratively Reweighting L.S. iteration -----------
  for (iter in 1L:control$maxit) {
    good <- weights > 0
    varmu <- variance(mu)[good]
    if (anyNA(varmu))
      stop("NAs in V(mu)")
    if (any(varmu == 0))
      stop("0s in V(mu)")
    mu.eta.val <- mu.eta(eta)
    if (any(is.na(mu.eta.val[good])))
      stop("NAs in d(mu)/d(eta)")
    ## drop observations for which w will be zero
    good <- (weights > 0) & (mu.eta.val != 0)

    if (all(!good)) {
      conv <- FALSE
      warning(gettextf("no observations informative at iteration %d",
                       iter), domain = NA)
      break
    }
    z <- (eta - offset)[good] + (y - mu)[good]/mu.eta.val[good]
    w <- sqrt((weights[good] * mu.eta.val[good]^2)/variance(mu)[good])
    # ## call Fortran code via C wrapper
    # fit <- .Call(C_Cdqrls, x[good, , drop = FALSE] * w, z * w,
    #              min(1e-7, control$epsilon/1000), check=FALSE)
    # 

    #print(iter)
    #print(z)
    #print(w)
  }


  }
  return(list(z=z, w=w, mustart=mustart, etastart=etastart, eta=eta, offset=offset, mu=mu, mu.eta.val=mu.eta.val,
              weight=weights, var_mu=variance(mu)))

}
— Swihart
fonte
2
Grazie per la tua eccellente risposta, questo è molto più che speravo :)
— Adela
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