Come fattorizzare la monade di continuazione in congiunti sinistro e destro?

Poiché la monade dello Stato può essere scomposta in Prodotto (Sinistra - Funzione) e Lettore (Destra - Rappresentabile).

C'è un modo per fattorizzare la Monade della continuazione? Di seguito il codice è il mio tentativo, che non digitare check

-- To form a -> (a -> k) -> k
{-# LANGUAGE MultiParamTypeClasses, TypeOperators, InstanceSigs, TypeSynonymInstances #-}
type (<-:) o i = i -> o
-- I Dont think we can have Functor & Representable for this type synonym

class Isomorphism a b where
   from :: a -> b
   to :: b -> a

instance Adjunction ((<-:) e) ((<-:) e) where
   unit :: a -> (a -> e) -> e
   unit a handler = handler a

   counit :: (a -> e) -> e -> a
   counit f e = undefined -- If we have a constraint on Isomorphism a e then we can implement this

Esiste un elenco di giunti di sinistra e diritti che formano monadi?
Ho letto che, dati un paio di aggiunte, formano un'unica Monade e Comonade ma, data una Monade, può essere scomposta in più Fattori. C'è qualche esempio di questo?

— Pawan Kumar
fonte

Questo non viene verificato perché la classe Adjunctionrappresenta solo un piccolo sottoinsieme di aggiunte, in cui entrambi i funzioni sono endofunctor su Hask .

A quanto pare, questo non è il caso dell'adeguamento (<-:) r -| (<-:) r. Ci sono due funzioni sottilmente differenti:

f = (<-:) r, il funzione da Hask a Op (Hask) (la categoria opposta di Hask, talvolta indicata anche come Hask ^ op)
g = (<-:) r, il funzione da Op (Hask) a Hask

In particolare, counitdovrebbe essere una trasformazione naturale nella categoria Op (Hask), che gira le frecce attorno:

unit   :: a -> g (f a)
counit :: f (g a) <-: a

In effetti, counitcoincide con unitin questa modifica.

Per catturarlo correttamente, dobbiamo generalizzare le classi Functore in Adjunctionmodo da poter modellare le aggiunte tra le diverse categorie:

class Exofunctor c d f where
  exomap :: c a b -> d (f a) (f b)

class
  (Exofunctor d c f, Exofunctor c d g) =>
  Adjunction
    (c :: k -> k -> Type)
    (d :: h -> h -> Type)
    (f :: h -> k)
    (g :: k -> h) where
  unit :: d a (g (f a))
  counit :: c (f (g a)) a

Quindi otteniamo di nuovo che Composeè una monade (e un comonad se capovolgiamo l'aggiunta):

newtype Compose f g a = Compose { unCompose :: f (g a) }

adjReturn :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => a -> Compose g f a
adjReturn = Compose . unit @_ @_ @c @(->)

adjJoin :: forall c f g a. Adjunction c (->) f g => Compose g f (Compose g f a) -> Compose g f a
adjJoin = Compose . exomap (counit @_ @_ @c @(->)) . (exomap . exomap @(->) @c) unCompose . unCompose

ed Contè semplicemente un caso speciale di ciò:

type Cont r = Compose ((<-:) r) ((<-:) r)

Vedi anche questa sintesi per maggiori dettagli: https://gist.github.com/Lysxia/beb6f9df9777bbf56fe5b42de04e6c64

Ho letto che dati un paio di aggiunte formano un'unica Monade e Comonade ma una Monade può essere scomposta in più Fattori. C'è qualche esempio di questo?

La fattorizzazione non è generalmente unica. Dopo aver generalizzato le aggiunte come sopra, puoi almeno considerare ogni monade Mcome un'aggiunta tra la sua categoria Kleisli e la sua categoria base (in questo caso, Hask).

Every monad M defines an adjunction
  F -| G
where

F : (->) -> Kleisli M
  : Type -> Type                -- Types are the objects of both categories (->) and Kleisli m.
                                -- The left adjoint F maps each object to itself.
  : (a -> b) -> (a -> M b)      -- The morphism mapping uses return.

G : Kleisli M -> (->)
  : Type -> Type                -- The right adjoint G maps each object a to m a
  : (a -> M b) -> (M a -> M b)  -- This is (=<<)

Non so se la monade di continuazione corrisponda a un aggiustamento tra endofunctor su Hask.

Vedi anche l'articolo nCatLab sulle monadi: https://ncatlab.org/nlab/show/monad#RelationToAdjunctionsAndMonadicity

Relazione con aggiunte e monadicità

Ogni aggiunta (L ⊣ R) induce una monade R∘L e una comonad L∘R. Vi è in generale più di una aggiunta che dà origine a una data monade in questo modo, infatti esiste una categoria di aggiunte per una data monade. L'oggetto iniziale in quella categoria è l'aggiustamento sulla categoria Kleisli della monade e l'oggetto terminale è quello sulla categoria di algebre di Eilenberg-Moore. (es. Borceux, vol. 2, prop. 4.2.2) Quest'ultima è chiamata regolazione monadica.

— Li-yao Xia
fonte