(L' onestà e l'integrità matematica - dato il numero di voti su questa "risposta" - mi hanno portato a modificare questa risposta. Ho resistito il più a lungo possibile perché era inteso come una battuta breve e non come qualcosa di "profondo", quindi inserendo qualsiasi spiegazione sembrava contraria allo scopo. Tuttavia, i commenti stanno chiarendo che dovrei essere chiaro per evitare incomprensioni. )
La mia risposta originale:
La formulazione di questa parte della specifica:
Se è 0, voglio impostarlo su 1, altrimenti impostarlo su 0.
implica che la soluzione più accurata è:
v = dirac_delta(0,v)
In primo luogo, la confessione: ho fatto mettere le funzioni delta confusi. Il delta di Kronecker sarebbe stato leggermente più appropriato, ma non tanto quanto volevo qualcosa che fosse indipendente dal dominio (il delta di Kronecker è principalmente usato solo per numeri interi). Ma non avrei dovuto usare le funzioni delta, avrei dovuto dire:
v = characteristic_function({0},v)
Vorrei chiarire. Ricordiamo che una funzione è una tripla, (X, Y, f) , dove X e Y sono insiemi (chiamato il dominio e codominio rispettivamente) ed f è una regola che assegna un elemento di Y per ogni elemento di X . Scriviamo spesso il triplo (X, Y, f) come f: X → Y . Dato un sottoinsieme di X , diciamo A , esiste una funzione caratteristica che è una funzione χ A : X → {0,1} (può anche essere considerata una funzione di un codice più grande come ℕ o ℝ). Questa funzione è definita dalla regola:
χ A (x) = 1 se x ∈ A e χ A (x) = 0 se x ∉ A .
Se ti piacciono le tabelle di verità, è la tabella di verità per la domanda "L'elemento x di X è un elemento del sottoinsieme A ?".
Quindi da questa definizione, è chiaro che la funzione caratteristica è ciò che è necessario qui, con X un grande set contenente 0 e A = {0} . Questo è quello che avrei dovuto scrivere.
E così per le funzioni delta. Per questo, dobbiamo conoscere l'integrazione. O lo sai già o non lo sai. Se non lo fai, nulla di ciò che posso dire qui ti parlerà delle complessità della teoria, ma posso fare un riassunto di una frase. Una misura su un set X è essenzialmente "ciò che è necessario per far funzionare le medie". Vale a dire che se abbiamo un set X e una misura μ su quell'insieme allora esiste una classe di funzioni X → ℝ , chiamate funzioni misurabili per le quali l'espressione ∫ X f dμ ha senso ed è, in un certo senso vago, il "medio" di f su X .
Data una misura su un set, si può definire una "misura" per sottoinsiemi di quel set. Questo viene fatto assegnando a un sottoinsieme l'integrale della sua funzione caratteristica (supponendo che si tratti di una funzione misurabile). Questo può essere infinito o indefinito (i due sono leggermente diversi).
Ci sono molte misure in giro, ma ce ne sono due importanti qui. Uno è la misura standard sulla linea reale, ℝ. Per questa misura, quindi ∫ ℝ f dμ è praticamente ciò che ti viene insegnato a scuola (il calcolo è ancora insegnato nelle scuole?): Sommare piccoli rettangoli e prendere larghezze sempre più piccole. In questa misura, la misura di un intervallo è la sua larghezza. La misura di un punto è 0.
Un'altra misura importante, che funziona su qualsiasi set, è chiamata misura del punto . È definito in modo che l'integrale di una funzione sia la somma dei suoi valori:
∫ X f dμ = ∑ x ∈X f (x)
Questa misura assegna a ciascun singleton impostare la misura 1. Ciò significa che un sottoinsieme ha una misura finita se e solo se è essa stessa finita. E pochissime funzioni hanno un integrale finito. Se una funzione ha un integrale finito, deve essere diversa da zero solo su un numero numerabile di punti. Quindi la stragrande maggioranza delle funzioni che probabilmente conoscete non hanno un integrale finito in questa misura.
E ora funzioni delta. Prendiamo una definizione molto ampia. Abbiamo uno spazio misurabile (X, μ) (così che è un set con una misura su di esso) e un elemento a ∈ X . Noi "definiamo" la funzione delta (secondo una ) per essere il "funzione" δ un : X → ℝ con la proprietà che δ una (x) = 0 se x ≠ una e ∫ X δ un df = 1 .
Il fatto più importante su questo per ottenere una presa in considerazione è questo: la funzione delta non deve necessariamente essere una funzione . E ' non è correttamente definito: Non ho detto quello che Æ un (a) è.
Quello che fai a questo punto dipende da chi sei. Il mondo qui si divide in due categorie. Se sei un matematico, dici quanto segue:
Ok, quindi la funzione delta potrebbe non essere definita. Diamo un'occhiata alle sue proprietà ipotetiche e vediamo se riusciamo a trovare una casa adeguata dove è definita. Possiamo farlo e finiamo con le distribuzioni . Queste non sono (necessariamente) funzioni, ma sono cose che si comportano un po 'come funzioni, e spesso possiamo lavorare con loro come se fossero funzioni; ma ci sono alcune cose che non hanno (come "valori"), quindi dobbiamo stare attenti.
Se non sei un matematico, dici quanto segue:
Ok, quindi la funzione delta potrebbe non essere definita correttamente. Chi lo dice? Un gruppo di matematici? Ignorali! Cosa sanno?
Avendo offeso il mio pubblico, continuerò.
Il delta dirac è generalmente considerato la funzione delta di un punto (spesso 0) nella linea reale con la sua misura standard. Quindi coloro che si lamentano nei commenti su di me che non conoscono i miei delta lo fanno perché usano questa definizione. Mi scuso con loro: anche se posso evitarlo usando la difesa del matematico (come reso popolare da Humpty Dumpty : ridefinire semplicemente tutto in modo che sia corretto), è una cattiva forma usare un termine standard per significare qualcosa di diverso.
Ma v'è una funzione delta che fa fare quello che voglio fare ed è quello che ho bisogno di te qui. Se prendo un provvedimento punto su una serie X poi c'è è una vera e propria funzione di δ una : X → ℝ che soddisfa i criteri di una funzione delta. Questo perché stiamo cercando una funzione X → ℝ che è zero tranne che in a e tale che la somma di tutti i suoi valori sia 1. Tale funzione è semplice: l'unica informazione mancante è il suo valore in a , e per fare in modo che la somma sia 1, assegniamo semplicemente il valore 1. Questo non è altro che la funzione caratteristica su {a} . Poi:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Quindi, in questo caso, per un set singleton, la funzione caratteristica e la funzione delta concordano.
In conclusione, ci sono tre famiglie di "funzioni" qui:
- Le funzioni caratteristiche degli insiemi singleton,
- Le funzioni delta,
- Le funzioni delta di Kronecker.
Il secondo è il più generale in quanto uno qualsiasi degli altri ne è un esempio quando si utilizza la misura del punto. Ma il primo e il terzo hanno il vantaggio di essere sempre funzioni autentiche. Il terzo è in realtà un caso speciale del primo, per una particolare famiglia di domini (numeri interi o alcuni sottoinsiemi).
Così, finalmente, quando ho originariamente scritto la risposta che non stavo pensando correttamente (non vorrei andare fino al punto di dire che ero confuso , come spero che ho appena dimostrato che non so di cosa sto parlando quando In realtà penso prima, non ci ho pensato molto). Il significato abituale del delta di dirac non è ciò che si desidera qui, ma uno dei punti della mia risposta è che il dominio di input non è stato definito, quindi anche il delta di Kronecker non avrebbe avuto ragione. Quindi la migliore risposta matematica (a cui stavo mirando) sarebbe stata la funzione caratteristica .
Spero che sia tutto chiaro; e spero anche di non dover mai più scrivere un pezzo matematico usando entità HTML al posto delle macro TeX!