Come rappresentare in modo compatto più stati qubit?

Poiché l'accesso a dispositivi quantistici in grado di computare quantistica è ancora estremamente limitato, è interessante simulare i calcoli quantistici su un computer classico . La rappresentazione dello stato di $n$ qubit come vettore richiede elementi, il che limita notevolmente il numero di qubit che si possono considerare in tali simulazioni.$2^n$

Si può usare una rappresentazione ¹ che è più compatta, nel senso che usa meno memoria e / o potenza computazionale rispetto alla semplice rappresentazione vettoriale? Come funziona?

Sebbene facile da implementare, è chiaro che la rappresentazione vettoriale è dispendiosa per gli stati che presentano scarsità e / o ridondanza nella loro rappresentazione vettoriale. Per un esempio concreto, considerare lo stato 3-qubit . Ha elementi ma assumono solo possibili valori, con la maggior parte degli elementi . Naturalmente, per essere utili nella simulazione di un calcolo quantistico, dovremmo anche considerare come rappresentare le porte e l'azione delle porte sui qubit, e includendo qualcosa su questi sarebbe il benvenuto, ma sarei felice di sentire anche solo dei qubit.233$(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$$2^3$$3$$0$

_{1. Si noti che sto chiedendo informazioni sulle rappresentazioni, non su software, librerie o articoli che potrebbero utilizzare / presentare tali rappresentazioni. Se presenti e spieghi una rappresentazione, sei invitato a menzionare dove è già utilizzata.}

Esistono molti modi possibili per rappresentare in modo compatto uno stato, la cui utilità dipende fortemente dal contesto.

Prima di tutto, è importante notare che non è possibile avere una procedura in grado di mappare qualsiasi stato in una rappresentazione più efficiente dello stesso stato (per lo stesso motivo per cui ovviamente non è possibile comprimere fedelmente alcun 2-bit stringa come stringa da 1 bit, con una mappatura che non dipende dalla stringa).

Tuttavia, non appena si iniziano a fare alcune ipotesi, è possibile trovare modi più efficienti per rappresentare uno stato in un determinato contesto. Esistono molti modi possibili per farlo, quindi ne citerò solo alcuni che mi vengono in mente:

1. Già la rappresentazione vettoriale standard di uno stato ket può essere pensata come una "rappresentazione compressa", che funziona supponendo che lo stato sia puro . In effetti, sono necessari gradi di libertà reali per rappresentare uno stato arbitrario (generalmente misto) n- qubit, ma solo 2 n + 1 - 2 per rappresentare uno puro.$4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. Se supponi che uno stato sia quasi puro, cioè tale che ρ sia scarso in alcune rappresentazioni (equivalentemente, ρ è di basso rango), allora di nuovo lo stato può essere efficacemente caratterizzato. Per un sistema d- dimensionale (quindi d = 2 n per un sistema n -qubit), invece di utilizzare i parametri ~ d 2 , puoi avere una rappresentazione fedele usando solo O ( r d log 2 d ) , dove r è la scarsità dello stato (vedi 0909.3304$\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$ e le opere che seguirono).

3. Se sei interessato solo a un numero limitato dei valori di aspettativa, è possibile trovare una rappresentazione compressa di uno stato n -qubit di dimensione O ( n log ( n ) log ( | S | ) ) . Si noti che ciò equivale a una riduzione esponenziale . Questo è stato mostrato (penso) in quant-ph / 0402095 , ma l'introduzione data nel 1801.05721 potrebbe essere più accessibile per un fisico (oltre a presentare miglioramenti nel metodo di ottimizzazione). Vedi i riferimenti in questo ultimo documento per un numero di risultati simili.$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. Se sai che l'entanglement dello stato è limitato (in un certo senso che può essere definito con precisione), allora si possono trovare di nuovo rappresentazioni efficienti in termini di reti tensoriali (un'introduzione si trova ad esempio nel 1708.00006 ). Più recentemente, è stato anche dimostrato che gli stati fondamentali di alcuni notevoli hamiltoniani possono essere rappresentati utilizzando Ansatze ispirato all'apprendimento automatico (( 1606.02318 e molti lavori successivi). ( 1710.04045 ) quindi non sono sicuro che debba andare in una categoria a sé stante.

Si noti che in tutto quanto sopra è possibile rappresentare in modo più efficiente un determinato stato, ma per simulare quindi l' evoluzione del sistema in genere è necessario tornare alla rappresentazione inefficiente originale. Se vuoi rappresentare efficacemente la dinamica di uno stato attraverso una data evoluzione, hai di nuovo bisogno di ipotesi sull'evoluzione perché ciò sia possibile. L'unico risultato che mi viene in mente a questo proposito è il teorema classico (come in quello stabilito, non come in "non quantistico") Gottesman-Knill , che consente di simulare in modo efficiente qualsiasi circuito quantico di Clifford.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Non sono sicuro che usare la sparsità sia un buon approccio qui: anche le porte a singolo qubit potrebbero facilmente trasformare uno stato rado in uno denso.

Ma puoi usare il formalismo stabilizzatore se usi solo cancelli Clifford . Ecco un breve riassunto ( notazione ):
Il singolo qubit gruppo Pauli è , cioè tutti i possibili prodotti di matrici di Pauli (compresi I ). Il gruppo Pauli di diversi qubit è lo spazio del prodotto tensore di G 1 , G n = G ⊗ n 1 . Lo stabilizzatore di uno stato | ψ ⟩ è il sottogruppo del gruppo Pauli di tutti gli operatori che stabilizzano$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$ , il che significa s | ψ ⟩ = | ψ ⟩ . È importante notare che questo funziona solo per stati specifici (ma importanti). Farò un esempio di seguito. La restrizione agli elementi del gruppo Pauli non è necessaria ma comune. Lo stabilizzatore è generato dagli operatori s 1 , s 2 , ... s n . Lo stabilizzatore definisce in modo univoco lo stato ed è una descrizione efficiente: invece di 2 n - 1 numeri complessi possiamo usare 4 n 2 bit ( G $\ket{\psi}$$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$ha 16 elementi). Quando si applica un cancello , l'aggiornamento generatori stabilizzante secondo s i → U † s i U . Un cancello che mappa gli operatori Pauli agli operatori Pauli è chiamato Clifford Gates. Quindi queste sono le porte che non "incasineranno" la nostra descrizione dello stato.$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$

$n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

Anche il formalismo stabilizzatore svolge un ruolo importante nella correzione dell'errore quantistico.

Si può usare una rappresentazione più compatta, nel senso che usa meno memoria e / o potenza computazionale rispetto alla semplice rappresentazione vettoriale? Come funziona?

Fonte: " Più Qubit ":

"Un singolo qubit può essere banalmente modellato, simulando un calcolo quantico di cinquanta qubit spingerebbe senza dubbio i limiti dei supercomputer esistenti. Aumentare le dimensioni del calcolo di un solo qubit aggiuntivo raddoppia la memoria necessaria per memorizzare lo stato e raddoppia il tempo di calcolo Questo rapido raddoppio del potere computazionale è il motivo per cui un computer quantistico con un numero relativamente piccolo di qubit può superare di gran lunga i supercomputer più potenti di oggi, domani e oltre per alcuni compiti computazionali ".

Quindi non puoi utilizzare uno schema Ponzi o rapinare Peter per pagare Paul . La compressione risparmierà memoria a costo della complessità computazionale o la rappresentazione in uno spazio più flessibile (più grande) ridurrebbe la complessità computazionale ma a costo della memoria. In sostanza ciò che è necessario è hardware più capace o algoritmi più intelligenti.

Ecco alcuni metodi:

• Compressione del volume di insiemi di stati quantistici della metrica di Qubit:

La metrica di informazioni di Fisher può essere utilizzata per mappare il volume del qubit usando un approccio di geometria delle informazioni come discusso in " Il volume degli stati di due Qubit per geometria delle informazioni ", " Analisi delle informazioni di Fisher e limite di Cramer-Rao per la stima di parametri non lineari After Compressed Sensing "e la nostra" spiegazione intuitiva delle informazioni di Fisher e del limite di Cramer-Rao ".

• Analogo alla compressione operando:

Calcolo delle scomposizioni ottimali in profondità delle operazioni logiche: " Un algoritmo meet-in-the-middle per una rapida sintesi di circuiti quantistici con profondità ottimale " o questa discussione di Quora su " Codificare la dimensione della particella ".

• Analogo alla compressione della memoria:

Fattorizzazione di Qutrit usando l'aritmetica ternaria: " Factoring con Qutrits: algoritmo di Shor su architetture quantistiche ternarie e metaplettiche " e " sintesi dei circuiti ternari quantistici mediante operazioni di proiezione ".

• Analogo all'ottimizzazione tradizionale

" Un algoritmo quantico per la ricerca di espressioni o espressioni minime minime ".

• Altro:

Dimensioni di Krull o assiomatizzazione e riscrittura dei grafici: " Completezza del calcolo ZX per Pure Qubit Clifford + T Quantum Mechanics ".

Combinando queste tecniche dovresti essere in grado di spremere il piede nella scarpa. Ciò consentirebbe l'emulazione di sistemi più grandi su processori convenzionali, ma non chiedermi di spiegare il lavoro a livello di dottorato o di scrivere il codice. :)