In che modo la misurazione di un qubit influenza gli altri?

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Per rappresentare lo stato di un computer quantistico, tutti i qubit contribuiscono a un vettore di stato (questa è una delle maggiori differenze tra elaborazione quantistica e classica come la comprendo). La mia comprensione è che è possibile misurare solo un qubit da un sistema di più qubit. In che modo la misurazione di un qubit influisce sull'intero sistema (in particolare, in che modo influisce sul vettore di stato)?

quantum-state measurement

— erica
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Esistono molti modi diversi di guardare ai qubit e il formalismo vettoriale di stato è solo uno di questi. In senso generale algebrico lineare una misurazione è una proiezione su una base. Qui fornirò approfondimenti con un esempio dal punto di vista osservabile di Pauli, che è il solito modello circuitale di QC.

In primo luogo, è interessante su quale base viene fornito il vettore di stato: ogni operatore di misura viene fornito con una serie di autostrade e qualunque misura si guardi (ad es. $X,Y,Z, XX, XZ$ , ecc.) determinare la base che potrebbe essere migliore per te per scrivere il vettore di stato. Il modo più semplice per rispondere alla tua domanda è se sai quale base ti interessa e, cosa più importante, se commuta con la misurazione che hai appena fatto .

Quindi, per semplicità, supponiamo che inizi con due qubit accoppiati in uno stato arbitrario scritto in $Z$ base per entrambi i qubit:

| ψ ⟩ = a | 0_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + b | 0_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩ + c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩

$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$

Le misure più semplici possibili che potresti fare sarebbero , ovvero l' operatore sul primo qubit, seguito da , l' operatore sul secondo qubit. Cosa fa la misurazione? Proietta lo stato in una delle autostrade. Puoi pensare a questo come a eliminare tutte le possibili risposte che sono incompatibili con quella che abbiamo appena misurato. Ad esempio, supponiamo di misurare e di ottenere il risultato , quindi lo stato risultante che avremmo sarebbe: $Z_{1}$ $Z$ $Z_{2}$ $Z$ $Z_{1}$ $1$

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| c |^{2} + | d |^{2}}} (c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩)

$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$

Si noti che il coefficiente esterno è solo per la rinormalizzazione. Quindi la nostra probabilità di misurare è $Z_{2}=0$ . Nota che questo è diverso dalla probabilità che abbiamo avuto nello stato iniziale, che era. $\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$ $|a|^{2}+|c|^{2}$

Supponiamo tuttavia che la misurazione successiva effettuata non commuti con la precedente. Questo è più complicato perché è necessario implementare un cambio di base sul vettore di stato per comprendere le probabilità. Con le misurazioni di Pauli, tuttavia, tende ad essere facile poiché le autovasi si relazionano in modo piacevole, cioè:

| 0_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ + | 1_{X} ⟩)

$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$

| 1_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ - | 1_{X} ⟩)

$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$

Un buon modo per verificare la tua comprensione: qual è la probabilità di misurare dopo la misurazione sopra? Qual è la probabilità se non abbiamo effettuato la misurazione ? Quindi una domanda più complicata è esaminare gli operatori del prodotto che agiscono contemporaneamente su entrambi i qubit, ad esempio, in che modo una misurazione di influenza lo stato iniziale? Qui misura il prodotto dei due operatori. $X= +1$ $Z_{1}=1$ $Z_{1}$ $Z_{1}Z_{2}=+1$ $Z_{1}Z_{2}$

— Emily Tyhurst
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Risposta semplice e piacevole. Penso che sia importante notare che ciò che descrivi è vero solo se a) esegui misurazioni proiettive eb) conosci l'esito della misurazione. Tieni presente che in generale avrai bisogno di stati misti per descrivere lo stato post-misurazione.

— M. Stern,

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Supponi che, prima della misurazione, il tuo sistema -qubit sia in qualche stato , dove è lo spazio di Hilbert di un singolo qubit. Scrivi per alcuni coefficienti tali che $n$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$ $\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$

| ψ ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{n}} u_{x} | x ⟩

$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$

u_{x} \in C

$u_x \in \mathbb C$

.

\sum_{x} | u_{x} |^{2} = 1

$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$

Se si misura il primo qubit nella base standard, definire e lasciare
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{0 x^{'}} | 0 ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{1 x^{'}} | 1 ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$ $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ e $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$ . Non è troppo difficile dimostrarlo, se si misura il primo qubit e si ottiene lo stato , lo stato di tutto il sistema "crolla" a , e se si ottiene ciò che si ottiene è . $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 1 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$
Questo è sostanzialmente analogo all'idea delle distribuzioni condizionali di probabilità: potresti pensare a come lo stato del sistema condizionato sul primo essere qubit , e come lo stato del sistema condizionato sul primo essere qubit (ad eccezione, naturalmente, che la storia è un po 'più complicato, a causa del fatto che il primo qubit non è "segreto" in uno stato di o ). $\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$ $\lvert 1 \rangle$ $0$ $1$
Quanto sopra non dipende fortemente dalla misurazione del primo qubit: possiamo definire e in termini di fissare qualsiasi bit particolare nella stringa di bit a sia o , sommando su solo i componenti che sono coerenti con la scelta sia o , e procedendo come sopra. $\lvert \varphi_0 \rangle$ $\lvert \varphi_1 \rangle$ $x$ $0$ $1$ $0$ $1$
Quanto sopra non dipende anche fortemente dalla misurazione nella base standard, come indica Emily. Se desideriamo prendere in considerazione la misurazione del primo qubit nella base , dove e , definiamo $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$ $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$ E poi procedendo come sopra.
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = (| α ⟩ ⟨ α | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (α_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + α_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | α ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = (| β ⟩ ⟨ β | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (β_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + β_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | β ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$

— Niel de Beaudrap
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Meno formalmente dichiarato rispetto alle altre risposte, ma per i principianti mi piace il metodo intuitivo delineato dal Prof. Vazirani in questo video .

Supponiamo di avere uno stato generale a due qbit:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Ora supponiamo si misura il più significativo (più a sinistra) qbit nella base di calcolo (come in, comprimerla a uno o ). Ci sono due domande che potremmo porre: $|0\rangle$ $|1\rangle$

Qual è la probabilità che il qbit misurato collassi a ? Che dire di ? $|0\rangle$ $|1\rangle$
Qual è lo stato del sistema a 2 qbit dopo la misurazione?

Per la prima domanda, la risposta intuitiva è questa: prendi la somma dei quadrati di tutte le ampiezze associate al valore per il quale vuoi trovare la probabilità di collasso. Quindi, se vuoi conoscere la probabilità che il Qbit misurato collassi su , che ci si guardano le ampiezze associate a casi e , perché quelli sono i casi in cui la qbit misurata è . Così: $|0\rangle$ $|00\rangle$ $|01\rangle$ $|0\rangle$

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

$|1\rangle$ $|10\rangle$ $|11\rangle$

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

$|0\rangle$

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

Tuttavia, questo stato non è normalizzato: la somma dei quadrati non aggiunge fino a 1, quindi è necessario normalizzarlo:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

$|1\rangle$

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

normalizzato:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

Ed è così che calcoli l'azione di misurare un qbit in uno stato multi-qbit, nel caso più semplice!

— ahelwer
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