Qual è la giustificazione matematica per l '"universalità" dell'insieme universale di porte quantistiche (CNOT, H, Z, X e π / 8)?

In questa risposta ho detto che le porte CNOT, H, X, Z e formano un insieme universale di porte, che fornite in un numero sufficiente di porte possono avvicinarsi arbitrariamente alla replica di qualsiasi porta quantistica unitaria (sono venuto a conoscenza di questo fatto dalle lezioni EdX del professor Umesh Vazirani). Ma c'è qualche giustificazione matematica per questo? Ci dovrebbe essere! Ho provato a cercare documenti pertinenti ma non sono riuscito a trovare molto. $\pi/8$

quantum-gate universal-gates gate-synthesis

— Sanchayan Dutta
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Risposte:

La risposta menzionata fa riferimento al libro di Michael Nielsen e Isaac Chuang, Quantum Computation e Quantum Information (Cambridge University Press), che contiene una prova dell'universalità di queste porte. (Nella mia edizione 2000, questo può essere trovato a p. 194.) L'intuizione chiave è che il cancello (o cancello), insieme al cancello , genera due diverse rotazioni sulla sfera Bloch con angoli che sono multipli irrazionali di . Ciò consente alle combinazioni di cancelli e di riempire densamente la superficie della sfera di Bloch e quindi approssimare qualsiasi operatore unitario a un qubit. $T$ $\pi/8$ $H$ $2\pi$ $T$ $H$

Che ciò possa essere fatto in modo efficace è dimostrato dal teorema di Solovay-Kitaev . Qui, "in modo efficiente" significa polinomiale in , dove è la precisione desiderata. Ciò è dimostrato anche nel libro di Nielsen e Chuang (Appendice 3 nell'edizione 2000). Una costruzione esplicita è disponibile in https://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030 . $\log(1/\epsilon)$ $\epsilon$

La combinazione di cancelli CNOT consente di approssimare unità arbitrarie multi-qubit, come mostrato da Barenco et al. in Phys. Rev. A 52 3457 (1995). (Una prestampa di questo documento è disponibile all'indirizzo https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 .) Questo è anche discusso in Nielsen e Chuang (p. 191 nell'edizione 2000).

— Brian R. La Cour
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Si può ottenere un risultato ancora più forte usando Kliuchnikov, Maslov e Mosca provati in Giles Selinger .

— AHusain,

Non hai nemmeno bisogno di e . , e sono sufficienti. $Z$ $X$
$\rm{CNOT}$ $H$ $T=\pi/8$

1) e sono sufficienti per effettuare ogni possibile trasformazione unitaria su un qubit. 2) Aggiungendo , è possibile sintetizzare una trasformazione unitaria generale all'interno di qualsiasi errore utilizzando solo porte . $H$ $T$
$\rm{CNOT}$ $\epsilon>0$ $\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

Se desideri che l'errore sia e desideri solo aggiungere il gate di fase , è ancora possibile , se e solo se gli elementi dell'unità unitaria che vuoi fare sono della forma: $\epsilon=0$ $\pi/2$ , in cui tutte le variabili sono interi. Sorprendentemente, per questa sintesi esatta è necessario al massimo 1 qubit ausiliario. $\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

Un altro set di gate universale è , e in effetti c'è un singolo gate che è universale: il gate tedesco 3 qubit . $\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$

— user1271772
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CCNOT + H è universale in un senso diverso, però: è universalmente computazionale, ma non può realizzare alcun cancello.

— Norbert Schuch,

@NorbertSchuch: l'unico problema con CCNOT + H è il fatto che non può realizzare gate a 2 qubit? Non è un problema anche con la porta Deutsch? Se un set di gate può simulare qualsiasi calcolo quantistico con arbitrario

, allora sicuramente può simulare qualsiasi gate quantistico con arbitrario

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— user1271772

No. Non può realizzare alcuna porta con coefficienti complessi (= non reali), per ovvie ragioni. È computazionalmente universale, cioè può eseguire qualsiasi q. calcolo, ma non lo fa implementando one-to-one dette porte, ma una realizzazione equivalente. Quindi, se si vuole realizzare unitaries (che sembra essere il punto della questione), è non è un set porta universale.

— Norbert Schuch,

@NorbertSchuch: un esempio di calcolo quantistico è la simulazione di un complesso unitario. Quindi, se CCNOT + H può fare qualsiasi q. calcolo, non può avvicinarsi arbitrariamente alla simulazione di qualsiasi unità?

— user1271772

Sia CCNOT che H hanno solo voci reali. Non c'è modo di ottenere QUALSIASI cancello con voci complesse. --- Più in generale, ci sono (almeno) 3 nozioni di "simulazione": ottenere qualsiasi unità, ottenere le statistiche di misurazione di un computer quantistico o risolvere un problema BQP. CCNOT + H è universale nel secondo (e terzo) senso, ma non nel primo.

— Norbert Schuch,