Data una decomposizione per una

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Supponiamo di avere una decomposizione circuitale di una unitaria usando un set di gate universale (ad esempio porte CNOT e unitari a qubit singolo). Esiste un modo diretto per annotare il circuito della corrispondente unitaria controllata usando lo stesso set di gate universale? $U$ $C_U$

Ad esempio prendi , come circuito: $U=i Y = H X H X$

Possiamo sostituire le porte porte (CNOT) per ottenere : $X$ $C_X$ $C_U$

Questo funziona perché se il qubit di controllo è nello stato l'azione sul bersaglio è , mentre per si applica il circuito per . Per diverse , in particolare se agisce su più qubit, inventare un tale circuito potrebbe essere ingombrante. Esiste una ricetta per ottenere il circuito di dato che sai come costruire ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M. Stern
fonte

stai chiedendo come costruire una CU da una U di un qubit arbitraria? Un metodo per farlo può essere trovato nel capitolo 4 di N&C (vedi ad esempio la figura 4.6 nell'ultima edizione), che è fondamentalmente la generalizzazione della decomposizione che hai mostrato

— glS

@glS oh wow, non ne ero a conoscenza. Sembra esattamente il mio esempio. Bello vedere come implementa la fase

. Ma non sembrano discutere la generalizzazione a più qubit target?

α

$\alpha$

— M. Stern,

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La domanda potrebbe non essere del tutto ben definita, nel senso che per chiedere un modo per calcolare da una decomposizione di è necessario specificare l'insieme di porte che si desidera utilizzare. In effetti, è un risultato noto che qualsiasi gate -qubit può essere esattamente decomposto usando le operazioni e single-qubit, in modo che una risposta ingenua alla domanda sarebbe: semplicemente decomporre usando single-qubit e s. $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

Una diversa interpretazione della domanda è la seguente: dato , posso calcolare usando una serie di operazioni singolo qubit e s non sul qubit controllo , e s con il controllo essendo il primo qubit? Questo può essere fatto generalizzando un risultato trovato nel capitolo quattro di Nielsen & Chuang . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Sia un gate a qubit singolo. Si può quindi dimostrare che può sempre essere scritto come , dove è la porta di Pauli X e e sono operazioni a singolo qubit in modo tale che ( vedere N&C per una prova). Ne consegue che $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ dove è un gate di fase applicato al primo qubit e sono applicato al secondo qubit. Questo è immediato quando ti rendi conto che, se quel primo qubit è , allora

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ diventa un'identità, e sul secondo qubit hai le operazioni

, che danno l'identità. D'altra parte, se il primo qubit è

, quindi sulla seconda rotaia avete

, che (insieme con la fase) è uguale a

per definizione.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

La suddetta decomposizione può essere usata per trovare un modo ingenuo di calcolare per una porta unitaria -qubit generale . L'osservazione principale è che se per ogni gruppo di porte , quindi $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ Ma sappiamo anche che ogni -qubit può essere scomposta in termini di CNOTs e operazioni a singolo qubit. Ne consegue che è una sequenza di operazioni CCNOT e , in cui CCNOT è qui ungate applicato ad alcuni qubit condizionati a due altri qubit essendo , e è un'operazione a singolo qubit su alcuni qubit. Ma ancora una volta, qualsiasi operazione CCNOT (chiamata ancheToffoli), può essere decomposta come mostrato nella Figura 4.9 in N&C e

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ vengono decomposti come mostrato nella prima parte della risposta.

Questo metodo consente di scomporre un gate unitario -qubit generale usando solo e single-qubit. È quindi possibile andare oltre e generalizzare questo per trovare una decomposizione per il caso di qubit di controllo multipli. Per questo è necessario solo ora un modo per scomporre le porte di Toffoli, che si trova di nuovo nella Figura 4.9 delle N&C. $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— gls
fonte

Penso che sia quello che stavo cercando. Solo per essere sicuri: diciamo la decomposizione nota

contiene

e porte a qubit singolo. Quindi per le porte a qubit singolo sostituiamo

con

, che è costruito seguendo la descrizione in N&C. E i

sono sostituiti da cancelli Toffoli (che potrebbero anche essere decomposti). Giusto?

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

— M. Stern,

@ M.Stern bene quasi. Se

contiene una

(che più precisamente sarebbe una

, che agisce tra

-th e

-th qubit, con

), allora la porta equivalente in

è già un gate di Toffoli, con primo e

-qubit come controllo e

-qubit come target. Puoi quindi andare a sostituire il Toffolis usando le decomposizioni conosciute

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

— glS

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Anche se questo potrebbe non rispondere completamente alla tua domanda, penso che potrebbe fornire una certa direzione di pensiero. Ecco due fatti importanti:

Qualsiasi matrice unitaria , può essere realizzata su un computer quantistico con bit quantum mediante una sequenza finita di gate controllati e non a singolo qubit ¹ . $2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
Supponiamo che sia una matrice unitaria che soddisfi , e . Quindi sono necessarie e sufficienti sei porte elementari per implementare un gate ² controllato . $U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

Dovrebbe essere possibile estendere il secondo caso al caso generale , dato il primo punto, anche se non ho trovato alcun documento che lo faccia esplicitamente. $n\times n$

1 porte elementari per il calcolo quantistico-A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Realizzazioni ottimali di cancelli unitari controllati - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

— Sanchayan Dutta
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