Perché i protocolli di correzione degli errori funzionano solo quando i tassi di errore sono già significativamente bassi all'inizio?

La correzione dell'errore quantistico è un aspetto fondamentale del calcolo quantistico, senza il quale i calcoli quantistici su larga scala sono praticamente irrealizzabili.

Un aspetto del calcolo quantistico a tolleranza d'errore che viene spesso menzionato è che ogni protocollo di correzione degli errori ha associato una soglia del tasso di errore . Fondamentalmente, affinché un determinato calcolo sia protetto dagli errori tramite un determinato protocollo, il tasso di errore delle porte deve essere inferiore a una determinata soglia.

In altre parole, se i tassi di errore delle singole porte non sono abbastanza bassi, non è possibile applicare protocolli di correzione degli errori per rendere il calcolo più affidabile.

Perchè è questo? Perché non è possibile ridurre i tassi di errore che non sono già molto bassi all'inizio?

Vogliamo confrontare uno stato di uscita con uno stato ideale, così normalmente, la fedeltà, è usato come questo è un buon modo per dire quanto bene i possibili risultati di misurazione di ρ confronto con i possibili risultati di misura di | ψ ⟩ , dove | ψ ⟩ è lo stato di uscita ideale e ρ è stato raggiunto (potenzialmente misto) dopo un processo di rumore. Come ci stiamo confrontando gli stati, questo è F ( | ψ ⟩ , ρ ) = $F\left(\left|\psi\right>, \rho\right)$$\rho$$\left|\psi\right>$$\left|\psi\right>$$\rho$

$$F\left(\left|\psi\right>, \rho\right) = \sqrt{\left<\psi\right|\rho\left|\psi\right>}.$$

Descrivendo sia i processi di correzione di rumore e di errore mediante operatori Kraus, dove è il canale rumore con operatori Kraus N i ed E è il canale di correzione dell'errore con Kraus operatori E j , lo stato dopo rumore è ρ ' = N ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) = ∑ i N i | ψ ⟩ ⟨ ψ | N † i e lo stato dopo sia la correzione del rumore che quella dell'errore è ρ = E$\mathcal N$$N_i$$\mathcal E$$E_j$

$$\rho' = \mathcal N\left(\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\right) = \sum_iN_i\left|\psi\rangle\langle\psi\right|N_i^\dagger$$ $$\rho = \mathcal E\circ\mathcal N\left(\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\right) = \sum_{i, j}E_jN_i\left|\psi\rangle\langle\psi\right|N_i^\dagger E_j^\dagger.$$

La fedeltà di questo è data da

$$\begin{align}F\left(\left|\psi\right>, \rho\right) &= \sqrt{\left<\psi\right|\rho\left|\psi\right>} \\ &= \sqrt{\sum_{i, j}\left<\psi\right|E_jN_i\left|\psi\rangle\langle\psi\right|N_i^\dagger E_j^\dagger\left|\psi\right>} \\&= \sqrt{\sum_{i, j}\left<\psi\right|E_jN_i\left|\psi\rangle\langle\psi\right|E_jN_i\left|\psi\right>^*} \\ &= \sqrt{\sum_{i, j}\lvert\left<\psi\right|E_jN_i\left|\psi\right\rangle\rvert^2}.\end{align}$$

Affinché il protocollo di correzione degli errori sia di qualsiasi utilità, vogliamo che la fedeltà dopo la correzione degli errori sia maggiore della fedeltà dopo il rumore, ma prima della correzione degli errori, in modo che lo stato corretto dell'errore sia meno distinguibile dallo stato non corretto. Cioè, vogliamo Questo dà

$$F\left(\left|\psi\right>, \rho\right) > F\left(\left|\psi\right>, \rho'\right).$$ Poiché la fedeltà è positiva, questa può essere riscritta come∑i,j| ⟨Ψ| EjNi| ψ⟩| 2>∑i| ⟨Ψ| Ni| ψ⟩| 2 $$\sqrt{\sum_{i, j}\lvert\left<\psi\right|E_jN_i\left|\psi\right\rangle\rvert^2} > \sqrt{\sum_i\lvert\left<\psi\right|N_i\left|\psi\right\rangle\rvert^2}.$$ $$\sum_{i, j}\lvert\left<\psi\right|E_jN_i\left|\psi\right\rangle\rvert^2 > \sum_i\lvert\left<\psi\right|N_i\left|\psi\right\rangle\rvert^2.$$

Splitting nella parte correggibile, N c , per la quale E ∘ N c ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) = | ψ ⟩ ⟨ ψ | e la parte non correggibile, N n c , per la quale E ∘ N n c ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) = σ . Indica la probabilità che l'errore sia correggibile come P$\mathcal N$$\mathcal N_c$$\mathcal E\circ\mathcal N_c\left(\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\right) = \left|\psi\rangle\langle\psi\right|$$\mathcal N_{nc}$$\mathcal E\circ\mathcal N_{nc}\left(\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\right) = \sigma$$\mathbb P_c$e non correggibili (cioè si sono verificati troppi errori per ricostruire lo stato ideale) come dà ∑ i , j | ⟨ Ψ | E j N i | ψ ⟩ | 2 = P c + P n c ⟨ ψ | σ | ψ ⟩ ≥ P c , dove l'uguaglianza sarà assunto assumendo ⟨ ψ | σ | ψ ⟩ = $\mathbb P_{nc}$

$$\sum_{i, j}\lvert\left<\psi\right|E_jN_i\left|\psi\right\rangle\rvert^2 = \mathbb P_c + \mathbb P_{nc}\left<\psi\vert\sigma\vert\psi\right> \geq \mathbb P_c,$$ $\left<\psi\vert\sigma\vert\psi\right> = 0$. Questa è una falsa "correzione" che proietta su un risultato ortogonale a quello corretto.

Per qubit, con una (uguale) probabilità di errore su ciascun qubit come p ( nota : questo non è lo stesso del parametro noise, che dovrebbe essere usato per calcolare la probabilità di un errore), la probabilità di avere un errore correggibile (supponendo che gli n qubit siano stati usati per codificare k qubit, consentendo errori su fino a t qubit, determinato dal limite di Singleton n - k ≥ 4 t ) è P$n$$p$$n$$k$$t$$n-k\geq 4t$

$$\begin{align} \mathbb P_c &=\sum_j^t {n\choose j}p^j\left(1-p\right)^{n-j}\\ &= \left(1-p\right)^n + np\left(1-p\right)^{n-1} + \frac 12n\left(n-1\right)p^2\left(1-p\right)^{n-2} + \mathcal O\left(p^3\right) \\ &= 1 - {n\choose{t+1}}p^{t+1} + \mathcal O\left(p^{t + 2}\right)\end{align}$$

$N_i = \sum_j\alpha_{i, j}P_j$$P_j$ $\chi_{j, k} = \sum_i\alpha_{i, j}\alpha^*_{i, k}$

$$\sum_i\lvert\left<\psi\right|N_i\left|\psi\right\rangle\rvert^2 = \sum_{j, k}\chi_{j, k}\left<\psi\right|P_j\left|\psi\right\rangle\left<\psi\right|P_k\left|\psi\right\rangle\geq\chi_{0, ,0},$$ dove$\chi_{0, 0} = \left(1-p\right)^n$ è la probabilità chenonsi verifichino errori.

$$1 - {n\choose{t+1}}p^{t+1} \gtrapprox\left(1-p\right)^n.$$ $\rho \ll 1$$p$$p^{t+1}$$p$

$p$$p^{t+1}$$p$$n=5$$t=1$$p\approx 0.29$

Modifica dai commenti:

$\mathbb P_c + \mathbb P_{nc} = 1$

$$\sum_{i, j}\lvert\left<\psi\right|E_jN_i\left|\psi\right\rangle\rvert^2 = \left<\psi\vert\sigma\vert\psi\right> + \mathbb P_c\left(1-\left<\psi\vert\sigma\vert\psi\right>\right).$$

$$1-\left(1-\left<\psi\vert\sigma\vert\psi\right>\right){n\choose{t+1}}p^{t+1} \gtrapprox\left(1-p\right)^n,$$

$1$

Ciò dimostra, approssimativamente, che la correzione degli errori, o semplicemente la riduzione dei tassi di errore, non è sufficiente per il calcolo con tolleranza agli errori , a meno che gli errori non siano estremamente bassi, a seconda della profondità del circuito.

C'è già una buona risposta matematica, quindi cercherò di fornirne una facile da capire.

La correzione quantistica degli errori (QEC) è un (gruppo di) algoritmi piuttosto complessi che richiedono molte azioni (gate) su e tra i qubit. In QEC, si collegano praticamente due qubit a un terzo helper-qubit (ancilla) e si trasferiscono le informazioni se gli altri due sono uguali (in qualche modo specifico) in quel terzo qubit. Quindi leggi le informazioni su ancialla. Se ti dice che non sono uguali, agisci su tali informazioni (applica una correzione). Quindi come può andare storto se i nostri qubit e cancelli non sono perfetti?

QEC può far decadere le informazioni memorizzate nei qubit. Ognuna di queste porte può decadere le informazioni in esse memorizzate, se non vengono eseguite alla perfezione. Quindi, se solo eseguire il QEC distrugge più informazioni di quante ne recuperi in media, è inutile.

Pensi di aver trovato un errore, ma non l'hai fatto. Se il confronto (esecuzione di cancelli) o la lettura delle informazioni (ancilla) è imperfetto, è possibile ottenere informazioni errate e quindi applicare "correzioni errate" (leggi: introdurre errori). Inoltre, se le informazioni contenute nelle ancillas decadono (o vengono modificate dal rumore) prima che tu possa leggerle, otterrai anche letture errate.

L'obiettivo di ogni QEC è ovviamente quello di introdurre meno errori di quelli corretti, quindi è necessario ridurre al minimo gli effetti di cui sopra. Se fai tutti i calcoli, trovi requisiti piuttosto rigidi su qubit, porte e letture (a seconda dell'esatto algoritmo QEC che hai scelto).

Versione classica

$$0\mapsto 00000\qquad 1\mapsto 11111$$ $$01010.$$ $p$

$p>\frac12$

$01010$

Versione quantistica

$X$$Z$

$|\psi\rangle$$N$$\lceil N/2\rceil$$\lfloor N/2\rfloor$$N$$|\psi\rangle$

A me sembrano esserci due parti di questa domanda (una più legata al titolo, una più legata alla domanda stessa):

1) A quale quantità di rumore sono efficaci i codici di correzione errori?
2) Con quale quantità di imperfezione nei cancelli possiamo implementare calcoli quantistici a tolleranza d'errore?

Consentitemi di sottolineare la differenza: i codici di correzione dell'errore quantistico possono essere utilizzati in molti scenari diversi, ad esempio per correggere le perdite nelle trasmissioni. Qui la quantità di rumore dipende principalmente dalla lunghezza della fibra ottica e non dall'imperfezione delle porte. Tuttavia, se vogliamo implementare il calcolo quantico tollerante ai guasti, le porte sono la principale fonte di rumore.

1)

$1/2$$f(p)=p$

Quindi ogni volta che il tasso di errore fisico $p$$1/2$$p$$p$$\mathcal{O}(p)$$\mathcal{O}(p^2)$

Il 2)

Vogliamo eseguire calcoli quantistici arbitrariamente lunghi con un computer quantistico. Tuttavia, le porte quantistiche non sono perfette. Per far fronte agli errori introdotti dalle porte, usiamo i codici quantici di correzione degli errori. Ciò significa che un qubit logico è codificato in molti qubit fisici. Questa ridondanza consente di correggere una certa quantità di errori sui qubit fisici, in modo che le informazioni memorizzate nel qubit logico rimangano intatte. Codici più grandi consentono calcoli più lunghi per essere ancora precisi . Tuttavia, codici più grandi coinvolgono più porte (ad esempio più misurazioni della sindrome) e queste porte introducono rumore. Vedete che c'è un compromesso qui, e quale codice è ottimale non è ovvio.
Se il rumore introdotto da ciascuna porta è al di sotto di una soglia (la soglia di tolleranza di errore o precisione), è possibile aumentare la dimensione del codice per consentire calcoli arbitrariamente lunghi. Questa soglia dipende dal codice con cui abbiamo iniziato (di solito è concatenata iterativamente con se stessa). Esistono diversi modi per stimare questo valore. Spesso viene eseguito mediante simulazione numerica: introdurre errori casuali e verificare se il calcolo ha ancora funzionato. Questo metodo in genere fornisce valori soglia troppo alti. Ci sono anche alcune prove analitiche in letteratura, ad esempio questa di Aliferis e Cross .

$XIIII$$YIIII$$ZIIII$$IXIII$$IYIII$$IZIII$$IIXII$$IIYII$$IIZII$$IIIXI$$IIIYI$$IIIZI$$IIIIX$$IIIIY$$IIIIZ$$IIIII$$X$$Y$$Z$$I$

La parte principale del motivo è, tuttavia, che non è possibile utilizzare i circuiti di rilevamento degli errori diretti: ogni CNOT (o ogni altro 2 o più gate qubit non banali) inoltra gli errori in un qubit a un altro qubit che sarebbe disastroso per i più banali caso di un singolo errore di qubit che corregge il codice e comunque pessimo per codici più sofisticati. Quindi un'implementazione (utile) tollerante ai guasti richiede ancora più sforzi di quanto si possa pensare ingenuamente.

Con molte porte per errore che corregge il passaggio, è possibile consentire solo un tasso di errore molto basso per passaggio. Qui sorge ancora un altro problema: poiché potresti avere errori coerenti, devi essere pronto per il caso peggiore che un errore$\epsilon$$N \epsilon$$N^2 \epsilon$

Un esempio di errore coerente è l'implementazione di un gate $G$$G$$G + \sqrt{\epsilon} X$$\epsilon$$\sqrt{\epsilon}$$X$$N$$G^N + N \sqrt{\epsilon} G^N X$$N$$\sqrt{\epsilon}$$N^2 \epsilon$

Gli errori incoerenti sono più benigni. Tuttavia, se si deve dare un singolo valore come soglia di errore, non si può scegliere di assumere solo errori benigni!