Perché un computer quantistico è in qualche modo più potente di una macchina di Turing non deterministica?

L'account standard di notizie popolari dell'informatica quantistica è che un computer quantistico (QC) funzionerebbe suddividendo in esponenzialmente molte copie parallele non interagenti di se stesso in universi diversi e facendo tentare a ciascuno di verificare un certificato diverso, quindi alla fine del calcolo , la singola copia che ha trovato un certificato valido "annuncia" la sua soluzione e le altre filiali svaniscono magicamente.

Le persone che sanno qualcosa sul calcolo quantistico teorico sanno che questa storia è un'assurdità assoluta e che l'idea approssimativa sopra descritta corrisponde più da vicino a una macchina di Turing non deterministica (NTM) che a un computer quantistico. Inoltre, la classe di complessità dei problemi risolvibile in modo efficiente dagli NTM è NP e dai QC è BQP , e queste classi non sono ritenute uguali.

Le persone che cercano di correggere la presentazione popolare sottolineano giustamente che la narrativa semplicistica dei "molti mondi" sopravvaluta notevolmente il potere dei controlli di qualità, che non si ritiene siano in grado di risolvere (diciamo) problemi NP completi. Si concentrano sulla falsa rappresentazione del processo di misurazione: nella meccanica quantistica, quale risultato misuri è determinato dalla regola di Born, e nella maggior parte dei casi la probabilità di misurare una risposta errata inonda completamente la probabilità di misurare quella giusta. (E in alcuni casi, come la ricerca in black box, possiamo dimostrare che nessun circuito quantico intelligente può battere la regola di Born e fornire un aumento esponenziale.) Se potessimomagicamente "decidere cosa misurare", allora saremmo in grado di risolvere efficacemente tutti i problemi nella classe di complessità PostBQP , che si ritiene sia molto più grande di BQP .

Ma non ho mai visto nessuno sottolineare esplicitamente che c'è un altro modo in cui la caratterizzazione popolare è sbagliata, che va nella direzione opposta. Si ritiene che BQP non sia un sottoinsieme rigoroso di NP , ma invece incomparabile ad esso. Esistono problemi come il controllo di Fourier che si ritiene non solo al di fuori di NP , ma in realtà al di fuori dell'intera gerarchia polinomiale PH . Quindi, rispetto a problemi come questi, la narrativa popolare in realtà è sotto gli Stati piuttosto che sopravvaluta il potere dei controlli di qualità.

La mia ingenua intuizione è che se potessimo "scegliere cosa misurare", la narrativa popolare sarebbe più o meno corretta, il che implicherebbe che questi computer super-quantici sarebbero in grado di risolvere esattamente la classe NP . Ma crediamo che sia sbagliato; infatti PostBQP = PP , che riteniamo essere un superset rigoroso di NP .

C'è qualche intuizione per ciò che sta accadendo dietro le quinte che consente a un computer quantistico di essere (per alcuni aspetti) più potente di una macchina di Turing non deterministica? Presumibilmente questo potere "intrinsecamente quantico", quando combinato con la post-selezione (che in un certo senso ha già NTM) è ciò che rende un super-QC molto più potente di un NTM. (Nota che sto cercando qualche intuizione che contrapponga direttamente NTM e QC con postselection, senza "passare attraverso" la classica classe di complessità PP .)

speedup complexity-theory bqp

— tparker
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Risposte:

Da un punto di vista pseudo-fondazionale, il motivo per cui BQP è una classe diversamente potente (per coniare una frase) rispetto a NP , è che i computer quantistici possono essere considerati come l'uso di interferenze distruttive.

Molte diverse classi di complessità possono essere descritte in termini di (proprietà più o meno complicate) del numero di rami accettanti di un NTM. Dato un NTM in "forma normale", il che significa che l'insieme dei rami computazionali è un albero binario completo (o qualcosa di simile ad esso) di una certa profondità polinomiale, possiamo considerare le classi di linguaggi definiti facendo le seguenti distinzioni:

Il numero di rami accettati è zero o diverso da zero? (Una caratterizzazione di NP .)
Il numero di filiali accettanti è inferiore al massimo o esattamente uguale al massimo? (Una caratterizzazione di coNP .)
Il numero di filiali che accettano è al massimo un terzo, o almeno due terzi, del totale? (Una caratterizzazione di BPP .)
Il numero di filiali accettate è inferiore alla metà o almeno alla metà del totale? (Una caratterizzazione di PP .)
Il numero di rami accettati è diverso dalla metà esatta, o uguale alla metà esatta, del totale? (Una caratterizzazione di una classe chiamata C ₌ P. )

Queste sono chiamate classi di conteggio , poiché in effetti sono definite in termini di conteggio delle filiali accettate.

Interpretando i rami di un NTM come generati casualmente, sono domande sulla probabilità di accettazione (anche se queste proprietà non sono verificabili in modo efficiente con alcuna confidenza statistica). Un approccio diverso alla descrizione delle classi di complessità è quello di considerare invece il divario tra il numero di rami accettanti e il numero di rami rifiutati di un NTM. Se il conteggio del cumulo dei rami computazionali NTM corrisponde alle probabilità, si potrebbe suggerire che l'annullamento dell'accettazione dei rami contro il rifiuto dei rami modella la cancellazione dei "percorsi" computazionali (come nei percorsi di somma) nel calcolo quantico, cioè come modellazione dell'interferenza distruttiva .

I limiti superiori più noti per BQP , vale a dire AWPP e PP , sono facilmente definibili in termini di "lacune di accettazione" in questo modo. La classe NP , tuttavia, non ha una caratterizzazione così evidente. Inoltre, molte delle classi che si ottengono dalle definizioni in termini di lacune di accettazione sembrano essere più potenti di NP . Si potrebbe prendere questo per indicare che l '"interferenza distruttiva non deterministica" è una risorsa computazionale potenzialmente più potente del semplice non determinismo; cosicché anche se i computer quantistici non sfruttano appieno questa risorsa computazionale, possono comunque resistere al contenimento facile in classi come NP .

— Niel de Beaudrap
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Le classi di conteggio P e PSPACE sono? Ingenuamente sembra sì per P , in quanto potrebbe essere definito come l'insieme di problemi in modo tale che ogni percorso accetti, ma non sono sicuro di PSPACE .

— tparker,

PSPACE non è una classe di conteggio, no. Sei sulla buona strada con P --- devi richiedere che ogni percorso accetti o che ogni pah rifiuti (o un requisito altrettanto forte), altrimenti potresti finire con coNP , coRP o qualche altra classe che non conosci parità P .

— Niel de Beaudrap,

Presumibilmente PH non è nemmeno una classe di conteggio, poiché è naturalmente formulata in termini di una macchina di Turing alternata piuttosto che non deterministica?

— tparker,

B P P \subset P P \subset N P

$\mathbf{BPP} \subset \mathbf{PP} \subset \mathbf{NP}$

B P P \subset N P \subset P P

$\mathbf{BPP} \subset \mathbf{NP} \subset \mathbf{PP}$

B P P \subseteq N P

$\mathsf {BPP \subseteq NP}$

B P P \subseteq N P^{N P} \cap c o N P^{N P}

$\mathsf {BPP \subseteq NP^{NP} \cap coNP^{NP}}$

-1

Questa risposta è stata 'migrata' da quando questa domanda è stata posta su Informatica (l'autore rimane lo stesso)

Bene, uno dei motivi principali è che non ci sono algoritmi quantistici che risolvano i problemi NP-hard in tempi polinomiali.

Un altro è che la ricottura quantistica adiabetica (come nel Dwave) può a malapena battere la ricottura quantistica classica.

$\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $=$ $=$

$=$

$\neq$

Esistono problemi come il controllo di Fourier che si ritiene non solo al di fuori di NP, ma in realtà al di fuori dell'intera gerarchia polinomiale. Quindi, rispetto a problemi come questi, la narrativa popolare in realtà sottrae piuttosto che sopravvaluta il potere dei controlli di qualità.

$O(n)$ $O(n)$

— Lucertola discreta
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