Se tutte le porte quantistiche devono essere unitarie, che dire della misurazione?

Tutte le operazioni quantistiche devono essere unitarie per consentire la reversibilità, ma per quanto riguarda la misurazione? La misurazione può essere rappresentata come una matrice e quella matrice viene applicata ai qubit, quindi sembra equivalente al funzionamento di una porta quantistica. Questo è definitivamente non reversibile. Ci sono situazioni in cui potrebbero essere consentite porte non unitarie?

Le operazioni unitarie sono solo un caso speciale di operazioni quantistiche , che sono mappe lineari e completamente positive ("canali") che mappano gli operatori di densità agli operatori di densità. Questo diventa evidente nel Kraus rappresentazione del canale,

Tuttavia, le porte quantistiche sono unitarie, poiché vengono implementate tramite l'azione di un hamiltoniano per un tempo specifico, il che fornisce un'evoluzione temporale unitaria secondo l'equazione di Schrödinger.

Risposta breve

Le operazioni quantistiche non devono essere unitarie. In effetti, molti algoritmi e protocolli quantistici fanno uso della non unitarietà.

Risposta lunga

Le misure sono probabilmente l'esempio più evidente di transizioni non unitari che sono un componente fondamentale di algoritmi (nel senso che una "misura" è equivalente al campionamento dalla distribuzione di probabilità ottenuto dopo l'operazione decoherence ).$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

Più in generale, qualsiasi algoritmo quantistico che prevede passaggi probabilistici richiede operazioni non unitarie. Un esempio notevole che viene in mente è l'algoritmo di HHL09 per risolvere i sistemi lineari di equazioni (vedi 0811.3171 ). Un passaggio cruciale in questo algoritmo è la mappatura , dove | λ j ⟩ sono autovettori di qualche operatore. Questa mappatura è necessariamente probabilistica e quindi non unitaria.$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

Qualsiasi algoritmo o protocollo che utilizza feed-forward (classico) si avvale anche di operazioni non unitarie. Questo è l'insieme dei protocolli di calcolo quantistico a senso unico (che, come suggerisce il nome, richiedono operazioni non reversibili).

Gli schemi più importanti per il calcolo quantistico ottico con singoli fotoni richiedono anche misurazioni e talvolta post-selezione per impigliare gli stati di diversi fotoni. Ad esempio, il protocollo KLM produce porte probabilistiche, che sono quindi almeno in parte non reversibili. Una bella recensione sull'argomento è quant-ph / 0512071 .

Esempi meno intuitivi sono forniti dall'ingegneria dello stato quantico indotta dalla dissipazione (es. 1402.0529 o srep10656 ). In questi protocolli, si utilizza una dinamica dissipativa a mappa aperta e si progetta l'interazione dello stato con l'ambiente in modo tale che lo stato stazionario di lunga data del sistema sia quello desiderato.

A rischio di andare fuori tema dall'informatica quantistica e dalla fisica, risponderò a ciò che penso sia una domanda rilevante di questo argomento e lo userò per informare la discussione di porte unitarie nell'informatica quantistica.

La domanda qui è: perché vogliamo unità nelle porte quantiche?

La risposta meno specifica è come sopra, ci dà "reversibilità", o come spesso ne parlano i fisici, un tipo di simmetria per il sistema. Sto prendendo un corso di meccanica quantistica in questo momento, e il modo cancelli unitari ritagliate in quel corso è stata motivata dal desiderio di avere trasformazioni fisiche U : che agiscono come simmetrie. Questo imposto due condizioni sulla trasformazione U :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. Le trasformazioni dovrebbero agire linearmente sullo stato (questo è ciò che ci dà una rappresentazione a matrice).
2. Le trasformazioni dovrebbero preservare la probabilità, o più specificamente il prodotto interno . Ciò significa che se definiamo:

Conservazione dei mezzi prodotti interiori che . Da questa seconda specifica si può derivare l'unità (per i dettagli completi vedere le note del Dr. van Raamsdonk qui ).$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

Quindi questo risponde alla domanda sul perché le operazioni che mantengono le cose "reversibili" debbano essere unitarie.

La domanda sul perché la misurazione stessa non è unitaria è più correlata al calcolo quantistico. Una misurazione è una proiezione su una base; in sostanza, deve "rispondere" con uno o più stati di base come lo stato stesso. Inoltre, lascia lo stato in modo coerente con la "risposta" alla misurazione e non coerente con le probabilità sottostanti con cui lo stato ha avuto inizio. Quindi l'operazione soddisfa la specifica 1. della nostra trasformazione , ma definitivamente non soddisfa la specifica 2. Non tutte le matrici sono create uguali!$U$

Per arrotondare le cose al calcolo quantistico, il fatto che le misure siano distruttive e proiettive (cioè possiamo ricostruire la sovrapposizione solo attraverso misure ripetute di stati identici e ogni misura ci dà solo una risposta 0/1), fa parte di ciò che rende la separazione tra informatica quantistica e informatica regolare sottile (e parte del motivo per cui è difficile fissarla). Si potrebbe supporre che il calcolo quantistico sia più potente a causa della mera dimensione dello spazio di Hilbert, con tutte quelle sovrapposizioni statali disponibili per noi. Ma la nostra capacità di estrarre tali informazioni è fortemente limitata.

A quanto ho capito, questo dimostra che ai fini della memorizzazione delle informazioni, un qubit è buono solo come un bit normale e non migliore. Ma possiamo essere intelligenti nel calcolo quantistico con il modo in cui le informazioni vengono scambiate, a causa della struttura lineare algebrica sottostante.

Ci sono molti malintesi qui, molti dei quali provengono dall'esposizione al solo formalismo allo stato puro della meccanica quantistica, quindi affrontiamoli uno per uno:

1. Tutte le operazioni quantistiche devono essere unitarie per consentire la reversibilità, ma per quanto riguarda la misurazione?

Questo è falso In generale, gli stati di un sistema quantistico non sono solo vettori in uno spazio di Hilbert ma matrici di densità - unità-traccia, operatori semidefiniti positivi che agiscono sullo spazio di Hilbert H cioè, ρ : H → H , T r ( ρ ) = 1 e ρ ≥ 0 (Notare che i vettori allo stato puro non sono vettori nello spazio di Hilbert ma raggi in uno spazio proiettivo complesso ; per un qubit ciò equivale allo spazio di Hilbert che è C P 1 e non C$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$). Le matrici di densità vengono utilizzate per descrivere un insieme statistico di stati quantistici.

La matrice di densità è chiamata pura se e miscelata se ρ 2 < ρ . Una volta che abbiamo a che fare con una matrice di densità allo stato puro (cioè, non vi è alcuna incertezza statistica coinvolta), poiché ρ 2 = ρ , la matrice di densità è in realtà un operatore di proiezione e si può trovare un | ψ ⟩ ∈ H tale che ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | .$\rho^2 = \rho$$\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

L'operazione quantistica più generale è una mappa CP (mappa completamente positiva), cioè tale che Φ ( ρ ) = ∑ i K i ρ K † i ; ∑ i K † i K i ≤ I (se ∑ i K † i K i = I, allora questi sono chiamati mappa CPTP (completamente positivi e che mantengono traccia )$\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Ora, arrivando all'affermazione del PO che tutte le operazioni quantistiche sono unitarie per consentire la reversibilità - questo non è vero. L 'unità dell'operatore di evoluzione temporale ( ) nella meccanica quantistica (per l' evoluzione quantistica a sistema chiuso) è semplicemente una conseguenza dell'equazione di Schrödinger.$e^{-iHt/\hbar}$

Tuttavia, quando consideriamo le matrici di densità, l'evoluzione più generale è una mappa CP (o CPTP per un sistema chiuso per preservare la traccia e quindi la probabilità).

2. Ci sono situazioni in cui potrebbero essere consentite porte non unitarie?

Sì. Un esempio importante che viene in mente sono i sistemi quantistici aperti in cui gli operatori Kraus (che non sono unitari) sono le "porte" con cui il sistema si evolve.

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$$i$$K^\dagger K = \mathbb{I}$$K$$\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$ (which is the standard evolution that you may have seen before). However, in general, there are several Kraus operators and therefore the evolution is non-unitary.

Coming to the final point:

3. Measurement can be represented as a matrix, and that matrix is applied to qubits, so that seems equivalent to the operation of a quantum gate. That's definitively not reversible.

In standard quantum mechanics (with wavefunctions etc.), the system's evolution is composed of two parts $-$ a smooth unitary evolution under the system's Hamiltonian and then a sudden quantum jump when a measurement is made $-$ also known as wavefunction collapse. Wavefunction collapses are described as some projection operator say $|\phi\rangle \langle\phi|$ acting on the quantum state $|\psi\rangle$ and the $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ gives us the probability of finding the system in the state $|\phi\rangle$ after the measurement. Since the measurement operator is after all a projector (or as the OP suggests, a matrix), shouldn't it be linear and physically similar to the unitary evolution (also happening via a matrix). This is an interesting question and in my opinion, difficult to answer physically. However, I can shed some light on this mathematically.

If we are working in the modern formalism, then measurements are given by POVM elements; Hermitian positive semidefinite operators, $\{M_{i}\}$ on a Hilbert space $\mathcal{H}$ that sum to the identity operator (on the Hilbert space) $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$. Therefore, a measurement takes the form

The $\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ is the probability of the measurement outcome being $M_i$ and is used to renormalize the state to unit trace. Note that the numerator, $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ is a linear operation, but the probabilistic dependence on $p_i$ is what brings in the non-linearity or irreversibility.

Edit 1: You might also be interested Stinespring dilation theorem which gives you an isomorphism between a CPTP map and a unitary operation on a larger Hilbert space followed by partial tracing the (tensored) Hilbert space (see 1, 2).

I'll add a small bit complementing the other answers, just about the idea of measurement.

Measurement is usually taken as a postulate of quantum mechanics. There's usually some preceding postulates about hilbert spaces, but following that

• Every measurable physical quantity $A$ is described by an operator $\hat{A}$ acting on a Hilbert space $\mathcal{H}$. This operator is called an observable, and it's eigenvalues are the possibly outcomes of a measurement.
• If a measurement is made of the observable $A$, in the state of the system $\psi$, and the outcome is $a_n$, then the state of the system immediately after measurement is $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ where $\hat{P}_n$ is the projector onto the eigen-subspace of the eigenvalue $a_n$.

Normally the projection operators themselves should satisfy $\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ and $\hat{P}^2=\hat{P}$, which means they themselves are observables by the above postulates, and their eigenvalues $1$ or $0$. Supposing we take one of the $\hat{P}_n$ above, we can interpret the $1,0$ eigenvalues as a binary yes/no answer to whether the observable quantity $a_n$ is available as an outcome of measurement of the state $|\psi\rangle$.

Measurements are unitary operations, too, you just don't see it: A measurement is equivalent to some complicated (quantum) operation that acts not just on the system but also on its environment. If one were to model everything as a quantum system (including the environment), one would have unitary operations all the way.

However, usually there is little point in this because we usually don't know the exact action on the environment and typically don't care. If we consider only the system, then the result is the well-known collapse of the wave function, which is indeed a non-unitary operation.

Quantum states can change in two ways: 1. quantumly, 2. classically.

1. All the state changes taking place quantumly, are unitary. All the quantum gates, quantum errors, etc., are quantum changes.

2. There is no obligation on classical changes to be unitary, e.g. measurement is a classical change.

All the more reason, why it is said that the quantum state is 'disturbed' once it's measured.