Qual è la differenza tra sovrapposizioni e stati misti?

Finora la mia comprensione è: uno stato puro è uno stato di base di un sistema e uno stato misto rappresenta incertezza sul sistema, vale a dire che il sistema si trova in uno di un insieme di stati con una certa probabilità (classica). Tuttavia, anche le sovrapposizioni sembrano essere una sorta di mix di stati, quindi come si inseriscono in questa immagine?

Ad esempio, considera un lancio della moneta corretto. Puoi rappresentarlo come uno stato misto di "teste" e "code" :$\left|0\right>$$\left|1\right>$

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Tuttavia, possiamo anche usare la sovrapposizione di "teste" e "code": stato specifico con densità$\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Se misuriamo sulla base computazionale, otterremo lo stesso risultato. Qual è la differenza tra uno stato sovrapposto e uno misto?

No , una sovrapposizione di due stati diversi è una bestia completamente diversa da una miscela degli stessi stati. Mentre dal tuo esempio può sembrare che e ρ 2 producano gli stessi risultati di misurazione (e questo è effettivamente il caso), non appena si misura in una base diversa, si otterranno risultati misurabili in modo diverso .$\rho_1$$\rho_2$

Una "sovrapposizione" come è unostato puro. Ciò significa che è uno stato completamente caratterizzato. In altre parole, non vi è alcuna quantità di informazioni che, aggiunte alla sua descrizione, potrebbero renderle "meno indeterminate". Si noti cheogni stato puropuò essere scritto come sovrapposizione di altri stati puri. Scrivere un dato stato | ψ ⟩ come una sovrapposizione di altri stati è letteralmente la stessa cosa di scrittura di un vettore v in termini di qualche fondamento: si può sempre cambiare la base e trovare una diversa rappresentazione di v .$\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Questo è in diretto contrasto con uno stato misto come nella tua domanda. Nel caso di ρ 1 , la natura probabilistica dei risultati dipende dalla nostra ignoranza sullo stato stesso . Ciò significa che, in linea di principio, è possibile acquisire alcune informazioni aggiuntive che ci diranno se ρ 2 è effettivamente nello stato $\rho_1$$\rho_1$$\rho_2$ o nello stato$\up$ .$\down$

Uno stato misto non può, in generale, essere scritto come uno stato puro. Ciò dovrebbe essere chiaro dall'intuizione fisica di cui sopra: gli stati misti rappresentano la nostra ignoranza su uno stato fisico, mentre gli stati puri sono stati completamente definiti, che in tal modo danno ancora risultati probabilistici a causa del modo in cui la meccanica quantistica funziona.

In effetti, esiste un semplice criterio per stabilire se un dato stato (generalmente misto) può essere scritto come | ψ ⟩ ⟨ ψ | per alcuni stati (puri) | ψ ⟩ : calcolo la sua purezza . La purezza di uno stato ρ è definita come $\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$ , ed è un risultato standard che la purezza dello stato è 1 se e solo selo stato è puro (e inferiore a 1 altrimenti).$\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

La risposta breve è che ci sono più informazioni quantistiche che "incertezza". Questo perché esiste più di un modo per misurare uno stato; e questo perché esiste più di una base in cui, in linea di principio, è possibile archiviare e recuperare informazioni. Le sovrapposizioni consentono di esprimere le informazioni in una base diversa rispetto alla base computazionale, ma le miscele descrivono la presenza di un elemento probabilistico, indipendentemente dalla base utilizzata per guardare lo stato.

La risposta più lunga è la seguente:

La misurazione, come è stata descritta, è specificamente la misurazione sulla base computazionale. Questo è spesso descritto solo come "misura" per brevità, e grandi sottogruppi della comunità pensano che questo sia il modo principale per misurare le cose. Ma in molti sistemi fisici, è possibile scegliere una base di misurazione .

Uno spazio vettoriale sopra ha più di una base (anche più di una base ortonormale), e a livello matematico non c'è molto che renda una base più speciale di un'altra, a parte ciò che è conveniente per il matematico. Lo stesso vale per la meccanica quantistica: a meno che non si specifichino alcune dinamiche specifiche, non esiste una base più speciale delle altre. Ciò significa che la base di calcolo | 0 ⟩ = [ 1 0 ]$\mathbb C$ non è fondamentalmente diverso fisicamente da un'altra base come | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ che è anche una base ortonormale. Ciò significa che dovrebbe esserci un modo per "misurare" uno stato| ψ⟩∈C2in tal modo che le probabilità dei risultati dipendono proiezioni su questi stati| +⟩E| -⟩. $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ $\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

In alcuni sistemi fisici, il modo in cui si esegue questa misurazione è prendere letteralmente lo stesso apparato e inclinarlo in modo che sia allineato con l'asse X anziché con l'asse Z. Matematicamente, il modo in cui lo facciamo è considerare i proiettori e quindi chiedere quali sono le proiezioni| φ+⟩:=Π+| ψ⟩e| φ-⟩:=Π-| ψ⟩. La norma al quadrato di| & Phi;±⟩determina la probabilità di "misura|+⟩" e di "misura|-⟩"; e normalizzare| φ+

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$o di avere una norma di 1 rese lo Stato post-misura. (Per uno stato su un singolo qubit, questo sarà solo | + ⟩ o | - ⟩ più interessante stati post-misurazione può comportare se si considerano gli stati multi-qubit, e prendere in considerazione il proiettore. Π + o Π - agisce su una delle molti qubit.)$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

Per gli operatori di densità, si prende lo stato quale si desidera eseguire una misurazione e si considera ρ + : = Π + ρ Π + e ρ - : = Π - ρ Π - . Questi operatori possono essere sub-normalizzati allo stesso modo degli stati | φ ± ⟩ potrebbe essere, nel senso che possono avere una traccia inferiore a 1. Il valore della traccia di ρ ± è la probabilità di ottenere il risultato | + ⟩ O | - $\rho$$\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$della misurazione; per rinormalizzare, è sufficiente ridimensionare l'operatore proiettato in modo da avere la traccia 1.

Considera il tuo stato sopra. Se lo misuri rispetto al | ± ⟩ base, quello che troverai è che ρ 2 = ρ 2 , + : = Π + ρ 2 Π + . Ciò significa che la proiezione dell'operatore con Π + modifica lo stato e che la probabilità di ottenere il risultato | + ⟩ Alla misurazione è 1. Se lo fai invece con ρ 1 , troverai una probabilità 50/50 di ottenere | + ⟩ O$\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$ . Quindi lo stato ρ 1 è uno stato misto, mentre ρ 2 non è --- la differenza è che ρ 2 ha un risultato definito in unabase di misurazionediversarispetto alla base standard. Si potrebbe dire che ρ 2 memorizzaun'informazionedefinita, sebbene in una base diversa da quella computazionale.$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$$\rho_2$

Più in generale, uno stato misto è uno il cui autovalore più grande è inferiore a 1, il che significa che non esiste una base in cui è possibile misurarlo per ottenere un risultato definito. Le sovrapposizioni consentono di esprimere le informazioni in una base diversa rispetto a quella computazionale; le miscele rappresentano un grado di casualità sullo stato del sistema che stai prendendo in considerazione, indipendentemente da come lo misuri.

Insieme al post di glS:

Uno stato misto sarebbe se avessi una bomboletta di vernice, ma non eri sicuro che fosse blu o giallo. Sai che è uno dei due, e una volta che apri la parte superiore e la misuri, lo sapresti, ma fino a quando non lo fai si trova in uno di quei due stati puri. Se lo prendessi da una pila di lattine in cui sapevi che c'erano ugualmente molte lattine di vernice blu come gialle, ti aspetteresti una pari probabilità che sia l'una o l'altra. Il 50% delle volte sarebbe giallo al 100% e il 50% sarebbe blu al 100%.

Una sovrapposizione è più simile se prendi mezza lattina di blu e mezza lattina di giallo e li versi insieme. Ora hai costruito un nuovo stato puro che è espressibile come una combinazione di altri stati puri. Se si verifica il suo "blueness", è di circa il 50%. Se si verifica il suo "giallo" è di circa il 50%. È sia giallo che blu allo stesso tempo. Il 100% delle volte è sia 50% blu che 50% giallo.

Se hai misurato la quantità di blu e giallo in una pila di lattine blu o gialle e poi in un'altra pila di verde, potresti essere confuso nel vedere che hai tanto blu e giallo in entrambe le pile, ma la differenza è che il ' blueness 'e' yellowness 'si trovano in uno stato misto nello stack successivo ma si trovano in una sovrapposizione in quest'ultimo.