In una Quantum Turing Machine, come viene presa la decisione di spostarsi lungo il nastro di memoria?

Sia, per una macchina Quantum Turing (QTM), lo stato impostato sia e l'alfabeto dei simboli sia , che appare sulla testina del nastro. Quindi, secondo la mia comprensione, in qualsiasi momento mentre il QTM sta calcolando, il qubit che appare alla sua testa conterrà un vettore arbitrario . Inoltre, se , allora il vettore di stato in quel caso sarà anche un vettore arbitrario .∑ = { 0 , 1 } V ∑ = a | 1 ⟩ + b | 0 ⟩ | q 0 ⟩ , | q 1 ⟩ , . . . ∈ Q V q = b 0 | q 0 ⟩ + B 1 | q 1 ⟩ + . . $Q$$\sum=\{0,1\}$$V_\sum = a|1\rangle+b|0\rangle$$|q_0\rangle , |q_1\rangle, ... \in Q$$V_q=b_0|q_0\rangle + b_1 |q_1\rangle+ ...$

Ora, al termine del ciclo di istruzioni, i vettori e decideranno se il QTM si sposterà a sinistra o a destra lungo il nastro Qubit. La mia domanda è: poiché lo spazio di Hilbert formato da è un insieme infinito non numerabile e è un insieme discreto, la mappatura tra di loro sarà difficile da creare.V q Q ⊗ ∑ { Sinistra, Destra $V_\sum$$V_q$$Q \otimes \sum$$\{\text{Left,Right}\}$

Quindi, come viene presa la decisione di spostarsi a sinistra oa destra? Il QTM si sposta contemporaneamente a sinistra e a destra, il che significa che l'insieme forma anche uno spazio di Hilbert diverso, e quindi il movimento del QTM diventa qualcosa di simile a .$\{\text{Left,Right}\}$$a|\text{Left}\rangle+b|\text{Right}\rangle$

Oppure, proprio come una classica macchina di Turing, il QTM si sposta a sinistra oa destra, ma non entrambi contemporaneamente?

Se abbiamo un QTM con stato impostato e un alfabeto nastro Σ = { 0 , 1 } , non possiamo dire che il qubit scansionato dalla testina del nastro "trattiene" un vettore a | 0 ⟩ + B | 1 ⟩ o che lo stato (interna) è un vettore con stati di base corrispondenti a Q . I qubit sul nastro possono essere correlati tra loro e con lo stato interno, nonché con la posizione della testina del nastro.$Q$$\Sigma = \{0,1\}$$a|0\rangle + b|1\rangle$$Q$

Come analogia, non descriveremmo lo stato globale di una macchina Turing probabilistica specificando in modo indipendente una distribuzione per lo stato interno e per ciascuno dei quadrati del nastro. Piuttosto, dobbiamo descrivere tutto insieme in modo da rappresentare correttamente le correlazioni tra le diverse parti della macchina. Ad esempio, i bit memorizzati in due quadrati di nastro distanti potrebbero essere perfettamente correlati, entrambi 0 con probabilità 1/2 e entrambi 1 con probabilità 1/2.

Quindi, nel caso quantistico, e supponendo che stiamo parlando di stati puri di macchine quantistiche di Turing con evoluzioni unitarie (al contrario di un modello più generale basato su stati misti), lo stato globale è rappresentato da un vettore le cui voci sono indicizzate da configurazioni (ovvero descrizioni classiche dello stato interno, posizione della testina del nastro e contenuto di ogni quadrato del nastro) della macchina Turing. Va notato che generalmente assumiamo che ci sia un simbolo bianco speciale nell'alfabeto nastro (che potrebbe essere 0 se vogliamo che i nostri quadrati nastro memorizzino i qubit) e che iniziamo i calcoli con al massimo finiti molti quadrati che non sono vuoti, in modo che l'insieme di tutte le configurazioni raggiungibili sia numerabile. Ciò significa che lo stato sarà rappresentato da un vettore unitario in uno spazio di Hilbert separabile.

$(q,\sigma)$

$Q = \{0,1\}$$\Sigma = \{0,1\}$(e prenderemo 0 per essere il simbolo vuoto). Iniziamo nello stato 0 scansionando un quadrato che memorizza 1 e tutti gli altri quadrati memorizzano 0. Non scriverò esplicitamente la funzione di transizione, ma descriverò semplicemente il comportamento a parole. Ad ogni spostamento, il contenuto del quadrato del nastro acquisito viene interpretato come un bit di controllo per un'operazione Hadamard sullo stato interno. Dopo l'esecuzione dell'Hadamard controllato, la testa si sposta a sinistra se lo stato (nuovo) è 0 e si sposta a destra se lo stato (nuovo) è 1. (In questo esempio non cambiamo mai realmente il contenuto del nastro.) Dopo un passo , il QTM si troverà in una sovrapposizione equamente ponderata tra l'essere nello stato 0 con il quadrato di scansione della testa del nastro -1 e l'essere nello stato 1 con il quadrato di scansione della testa del nastro +1. Su tutte le mosse successive l'Hadamard controllato non fa nulla perché ogni quadrato a parte il quadrato 0 contiene il simbolo 0. La testina continuerà quindi a muoversi simultaneamente sia a sinistra che a destra, come una particella che viaggia a sinistra e a destra in sovrapposizione.

Se lo volessi, potresti ovviamente definire una variante del modello di macchina quantistica di Turing per cui la posizione e il movimento della testina del nastro sono deterministici, e ciò non rovinerebbe l'universalità computazionale del modello, ma la definizione "classica" di Turing quantistica le macchine non impongono questa limitazione.

La macchina quantistica di Turing può spostarsi in una sovrapposizione di movimento a sinistra e a destra. Questo è diverso dalla classica macchina di Turing che può spostarsi solo a sinistra oa destra.