Cos'è l'entanglement quantistico e quale ruolo gioca nella correzione dell'errore quantistico?

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Voglio capire cos'è l'entanglement quantistico e quale ruolo gioca nella correzione dell'errore quantistico.

NOTA : Come per i consigli di @JamesWootton e @NielDeBeaudrap, ho fatto una domanda separata per l'analogia classica qui .

entanglement error-correction

— Chinni
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Direi che questo è un po 'troppo ampio come richiesto. Forse qualcosa di più simile al "perché è necessario l'entanglement per la correzione dell'errore quantistico" e ha una domanda separata per l'analogia classica.

— James Wootton,

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Ho elaborato fino a una domanda, poi ho capito che avrebbe distorto la mia risposta su quella delle piramidi. Ma @Chinni, sono d'accordo con James sul fatto che dovresti concentrarti su una delle due domande.

— Niel de Beaudrap,

@JamesWootton e Niel, grazie per il consiglio. Lo terrò a mente da ora. Ma poiché ci sono già tre risposte a questa domanda, andrà bene se lo divido in due domande separate?

— Chinni,

@Chinni Penso che vada bene. Forse dovresti informare i rispondenti nei commenti sotto la loro risposta che possono anche "dividere" la loro risposta (se applicabile).

— Lucertola discreta

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Le correlazioni classiche tra le variabili si verificano quando le variabili appaiono casuali, ma i cui valori si trovano in modo sistematico d'accordo (o in disaccordo) in qualche modo. Tuttavia, ci sarà sempre qualcuno (o qualcosa) che "sa" esattamente cosa stanno facendo le variabili in un determinato caso.

L'entanglement tra le variabili è lo stesso, tranne per l'ultima parte. La casualità è davvero casuale. I risultati casuali sono completamente indecisi fino al momento della misurazione. Ma in qualche modo le variabili, sebbene possano essere separate da galassie, sanno ancora essere d'accordo.

Cosa significa questo per la correzione degli errori? Cominciamo pensando alla correzione degli errori per un po ' .

Quando si memorizza un bit classico, i tipi di errori di cui bisogna preoccuparsi sono cose come i salti di bit e le cancellazioni. Quindi qualcosa potrebbe farti 0diventare un 1, o viceversa. O la tua parte potrebbe vagare da qualche parte.

Per proteggere le informazioni, possiamo garantire che i nostri bit logici (le informazioni effettive che vogliamo archiviare) non siano solo concentrati su singoli bit fisici . Invece, lo abbiamo distribuito. Quindi potremmo usare una semplice codifica di ripetizione, ad esempio, in cui copiamo le nostre informazioni su molti bit fisici. Questo ci consente di ottenere ancora le nostre informazioni, anche se alcuni dei bit fisici hanno fallito.

Questo è il lavoro di base della correzione degli errori: diffondiamo le nostre informazioni, per rendere difficile la confusione degli errori.

Per i qubit, ci sono più tipi di errori di cui preoccuparsi. Ad esempio, potresti sapere che i qubit possono trovarsi in stati di sovrapposizione e che le misurazioni cambiano questi. Le misurazioni indesiderate sono quindi un'altra fonte di rumore, causata dall'ambiente che interagisce con (e quindi in un certo senso "guardando" i nostri qubit). Questo tipo di rumore è noto come decoerenza.

In che modo questo influisce sulle cose? Supponiamo di usare la codifica ripetitiva con qubit. Quindi sostituiamo il nel nostro stato qubit logica desiderata con , ripetuto su molti qubit fisici, e sostituisce il con . Questo protegge nuovamente da ribaltamenti di bit e cancellazioni, ma rende ancora più facile le misurazioni vaganti. Ora l'ambiente misura se abbiamo o , cercando in uno qualsiasi dei molti qubit. Ciò renderà l'effetto della decoerenza molto più forte, che non è affatto quello che volevamo! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Per risolvere questo problema, dobbiamo rendere difficile la decoerenza per disturbare le nostre informazioni logiche sui qubit, così come abbiamo reso difficile per i capovolgimenti e le cancellazioni. Per questo, dobbiamo rendere più difficile misurare il nostro qubit logico. Non troppo difficile da non poterlo fare ogni volta che lo vogliamo, ovviamente, ma troppo difficile perché l'ambiente possa farlo facilmente. Ciò significa garantire che la misurazione di un singolo qubit fisico non ci dica nulla sul qubit logico. In effetti, dobbiamo fare in modo che sia necessario misurare un intero gruppo di qubit e confrontarne i risultati per estrarre qualsiasi informazione sul qubit. In un certo senso, è una forma di crittografia. Hai bisogno di abbastanza pezzi del puzzle per avere idea di cosa sia l'immagine.

Potremmo provare a farlo in modo classico. Le informazioni potrebbero essere distribuite in correlazioni complesse tra molti bit. Osservando abbastanza dei bit e analizzando le correlazioni, possiamo estrarre alcune informazioni sul bit logico.

Ma questo non sarebbe l'unico modo per ottenere queste informazioni. Come ho già detto, in genere c'è sempre qualcuno o qualcosa che già sa tutto. Non importa se si tratta di una persona o solo dei motivi nell'aria causati dall'esecuzione della crittografia. Ad ogni modo, l'informazione esiste al di fuori della nostra codifica, e questo è essenzialmente un ambiente che sa tutto. La sua stessa esistenza significa che la decoerenza si è verificata in misura irreparabile.

Ecco perché abbiamo bisogno dell'entanglement. Con esso, possiamo nascondere le informazioni usando le correlazioni nei risultati casuali veri e inconoscibili delle variabili quantistiche.

— James Wootton
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L'entanglement è una parte naturale delle informazioni e del calcolo quantistici. Se non è presente --- se si tenta di fare le cose in modo tale che non si verifichi l'entanglement --- non si ottiene alcun beneficio dal calcolo quantistico. E se un computer quantistico sta facendo qualcosa di interessante, produrrà un sacco di entanglement, almeno come effetto collaterale.

Tuttavia, ciò non significa che l'entanglement sia "ciò che fa andare i computer quantistici". L'entanglement è come gli ingranaggi rotanti di una macchina: non succede nulla se non girano, ma ciò non significa che avere quegli ingranaggi che girano rapidamente è sufficiente per fare in modo che la macchina faccia quello che vuoi. (L'entanglement è una risorsa primitiva in questo modo per la comunicazione , ma non per il calcolo per quanto nessuno ha visto.)

Questo è vero sia per la correzione dell'errore quantico che per il calcolo. Come tutte le forme di correzione degli errori, la correzione degli errori quantistici funziona distribuendo informazioni su un sistema più ampio, in particolare nelle correlazioni di determinate informazioni misurabili. L'entanglement è solo il solito modo in cui i sistemi quantistici vengono correlati, quindi non dovrebbe sorprendere il fatto che un buon codice di correzione dell'errore quantistico implichi molto entanglement. Ma ciò non significa che cercare di "pompare il tuo sistema pieno di entanglement", come una sorta di pallone ad elio, sia qualcosa di utile o significativo da fare per proteggere le informazioni quantistiche.

Mentre la correzione dell'errore quantistico è talvolta descritta vagamente in termini di entanglement, più importante è il modo in cui comporta controlli di parità usando diversi "osservabili". Lo strumento più importante per descriverlo è il formalismo stabilizzatore. Il formalismo stabilizzatore può essere usato per descrivere alcuni stati con grandi quantità di entanglement, ma soprattutto consente di ragionare sulle proprietà multi-qubit ("osservabili") abbastanza facilmente. Da quel punto di vista, si può capire che la correzione dell'errore quantistico è molto più strettamente correlata alla fisica a molti corpi a bassa energia degli spin-hamiltoniani, piuttosto che all'entanglement in generale.

— Niel de Beaudrap
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Non esiste un equivalente classico all'entanglement. L'entanglement è forse meglio compreso usando la notazione di Dirac (bra-ket).

Consideriamo ora una sovrapposizione del tipo . Ciò significa che il primo qubit è nello stato con probabilità e nello stato altrimenti, mentre il secondo qubit è sempre nello stato opposto che il primo è in: Le due particelle sono intrappolati. $\alpha \left|01\right> + \beta \left|10\right>$ $\left|0\right>$ $|\alpha|^2$ $\left|1\right>$

Non è importante che in questo esempio, i qubit intrecciati si trovino in stati opposti: potrebbero anche essere nello stesso stato e rimanere intrappolati. Ciò che conta è che i loro stati non sono indipendenti l'uno dall'altro. Ciò ha causato grossi mal di testa ai fisici perché significa che i qubit (o le particelle che li trasportano) non possono avere simultaneamente proprietà strettamente locali ed essere governati da un concetto chiamato realismo (che riflette i loro stati come proprietà intrinseca). Einstein notoriamente ha definito il paradosso risultante (se si assume ancora la locaility e il realismo) "azione spettrale a distanza".

L'entanglement non gioca un ruolo speciale nella correzione dell'errore quantistico: la correzione dell'errore deve funzionare per ogni stato nella base computazionale (che non ha entanglement). Quindi funziona automaticamente anche per le sovrapposizioni di questi stati (che possono essere stati intrecciati).

— piramidi
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Voglio comprenderlo meglio, in caso di entanglement, le prestazioni di questi algoritmi di correzione degli errori miglioreranno o peggioreranno? Inoltre, è possibile avere un sistema quantistico senza entanglement?

— Chinni,

Avere o meno l'entanglement non influisce sulla correzione dell'errore quantistico. Sì, ci sono sistemi quantistici senza entanglement; lo stato in cui si trova un tale sistema è chiamato stato del prodotto perché può essere scritto come (stato del primo qubit)

(stato del secondo qubit), ecc.

\otimes

$\otimes$

— piramidi

@pyramids: penso che l'affermazione "non esiste un equivalente classico all'entanglement" è (sebbene sia comune dirlo) un'affermazione leggermente forte. Esiste un analogo classico , sebbene non sia in alcun modo profondamente misterioso. Lo invochiamo ogni volta che spiegare cos'è l'entanglement --- e quindi affermare coraggiosamente che "l'entanglement non ha un analogo classico" per impedire alle persone di confondere l'entanglement con lo stesso analogo classico. Ma nel contesto della correzione dell'errore, il ruolo di quell'analogo classico è esattamente ciò che è in questione, perché è ciò che fa funzionare la classica correzione degli errori

— Niel de Beaudrap,

@NieldeBeaudrap Il mio modo di intendere l'entanglement (uno stato non di prodotto), questa affermazione è precisa piuttosto che eccessivamente forte.

— piramidi,

Una coppia di variabili casuali classiche correlate è anche uno stato non di prodotto, ed è proprio in questo modo che è un analogo classico all'entanglement. Ciò che rende "forte" la tua affermazione è che esiste una libertà di scelta nel punto in cui si disegna la linea, tra fenomeni "analoghi" anziché "non analoghi", e ti capita di aver tracciato la linea a una soglia elevata (come è convenzionale a che fare con l'entanglement, per ragioni storiche).

— Niel de Beaudrap,

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Per una certa classe di codici chiamati pure , la presenza di entanglement è un requisito necessario e sufficiente per la correzione di errori quantistici, cioè per correggere tutti gli errori che interessano fino a un certo numero di sottosistemi.

Richiama le condizioni di Knill-Laflamme affinché un codice quantico di correzione degli errori sia in grado di rilevare un certo insieme di errori $\{E_\alpha\}$ : scegli una base ortonormale $|i_\mathcal{Q}\rangle$ che attraversa il codice-spazio. Quindi l'errore $E_\alpha$ può essere rilevato se e solo se

⟨ {io}_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{io j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

Si noti che $C(E_\alpha)$ è una costante che dipende solo dall'errore specifico $E_\alpha$ , ma non da $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

Supponiamo un modello di errore in cui siamo interessati solo a quanti sottosistemi agiscono i nostri errori. Se il nostro codice è in grado di rilevare tutti gli errori $E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

Ciò che segue è quello per i codici puri di distanza $d$ , ogni vettore che si trova nel sottospazio del codice deve essere $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = TR (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = TR (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

$(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

$E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

$d$

Addendum: abbiamo esaminato ulteriormente questa domanda, i dettagli possono essere trovati nel documento Codici quantici di distanza massima e sottospazi fortemente aggrovigliati . C'è un compromesso: più errori un codice quantico può correggere, più devono essere intrecciati tutti i vettori nello spazio del codice. Questo ha senso, perché se le informazioni non fossero distribuite tra molte particelle, l'ambiente - leggendo alcuni qubit - potrebbe recuperare il messaggio nello spazio del codice. Ciò quindi distruggerebbe necessariamente il messaggio in codice, a causa del teorema di non clonazione. Pertanto, un'alta distanza richiede un elevato intreccio.

— Felix Huber
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Ecco un modo per pensare al ruolo dell'entanglement nei codici quantistici che ritengo complementare alla risposta di Felix Hubers.

$|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

Quindi, esiste un modo entropico di pensare alle condizioni di correzione dell'errore (rispetto alle più algebriche condizioni Knill-Laflamme). In particolare, se

io (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

$Q$ $S_1S_2$

Usando questo approccio entropico alla correzione degli errori ci sono percorsi abbastanza diretti per comprendere l'entanglement nei codici. Ad esempio, possiamo dimostrare che,

io (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

come segue. Per prima cosa scriviamo queste informazioni reciproche in termini di definizione,

io (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

$X$ $RS_1S_2S_3X$

io (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

$Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

io (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

$2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

io (R : S_{1} S_{3}) - io (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— Alex May
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