Perché utilizziamo il set di gate standard che facciamo?

Il set di gate tipicamente usato per il calcolo quantistico è composto dai singoli qubit Cliffords (Paulis, H e S) e dal NOT controllato e / o Z controllato.

Per andare oltre Clifford ci piace avere rotazioni complete a singolo qubit. Ma se siamo minimi, optiamo solo per T (la quarta radice di Z).

Questa particolare forma del set di gate fa apparire tutto. Come IBM Quantum Experiment p, ad esempio.

Perché queste porte, esattamente? Ad esempio, H fa il lavoro di mappatura tra X e Z. S fa allo stesso modo il lavoro di mappatura tra Y e X, ma viene introdotto anche un fattore di $-1$ . Perché non usiamo un unitario simile a Hadamard invece di S? O perché non usiamo la radice quadrata di Y invece di H? Sarebbe equivalente matematicamente, ovviamente, ma sembrerebbe solo un po 'più coerente come convenzione.$(X+Y)/\sqrt{2}$

E perché la nostra porta non Clifford è la quarta radice di Z? Perché non la quarta radice di X o Y?

Quali convenzioni storiche hanno portato a questa particolare scelta di cancello?

Chiunque abbia scritto un documento e si sia chiesto se potrebbe migliorare la notazione o presentare l'analisi in modo leggermente diverso per renderlo più elegante, ha familiarità con il fatto che le scelte di notazione, descrizione e analisi possono essere un incidente - scelte senza motivazioni profonde. Non c'è niente di sbagliato in questo, semplicemente non ha una forte giustificazione per essere un modo particolare. Nelle grandi comunità di persone più interessate (forse con la ragione) a fare le cose piuttosto che presentare il quadro più pulito possibile, questo accadrà continuamente.

Penso che la risposta definitiva a questa domanda sarà in questo senso: è soprattutto un incidente storico. Dubito che ci siano ragioni profondamente considerate per cui i gate-set sono come sono, così come non ci sono ragioni profondamente considerate per cui parliamo dello stato di Bell un po 'più spesso dello stato| Ψ-⟩=(|01⟩-|10⟩) /$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$ .$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

Ma possiamo ancora considerare come è avvenuto l'incidente e se c'è qualcosa che possiamo imparare sui modi di pensare sistematici che potrebbero averci portato lì. Mi aspetto che le ragioni alla fine provengano dalle priorità culturali degli informatici, con pregiudizi sia profondi che superficiali che giocano un ruolo nel modo in cui descriviamo le cose.

Una digressione su Bell afferma

Se sopporterai con me, vorrei soffermarmi sull'esempio dei due stati di Bell e | Ψ - ⟩ come un esempio indicativo di come una convenzione definitiva arbitraria può avvenire per caso, in parte a causa delle distorsioni che non hanno radici profonde matematiche.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$

Un ovvio motivo per preferire sopra | Ψ - ⟩ è che il primo è più, ovviamente, simmetrica. Mentre aggiungiamo i due componenti per | Φ + ⟩ , non è chiaro il bisogno di difendere il motivo per cui lo scriviamo così come facciamo. Al contrario, potremmo facilmente definire | Ψ - ⟩ = ( | 10 ⟩ - | 01 ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$ con il segno opposto, che non è motivato meglio o peggio della scelta| Ψ-⟩=(|01⟩-|10⟩) /$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$ . Questo ci fa sentire come se stessimo facendo scelte più arbitrarie durante la definizione di| Ψ-⟩.$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle$

Anche la scelta della base è alquanto flessibile nel caso di : possiamo scrivere | Φ + ⟩ : = ( | + + ⟩ + | - - ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$ e ottenere lo stesso stato. Ma le cose iniziano a peggiorare se inizi a considerare le autostrade| ±i⟩:=(|0⟩±i|1⟩) /$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$ dellaYdell'operatore: abbiamo| Φ+⟩=(|+i⟩|-i⟩+|-i⟩|+I⟩) /$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$ . Sembra ancora piuttosto simmetrico, ma diventa chiaro che la nostra scelta delle basi gioca un ruolo non banale nel modo in cui definiamo| Φ+⟩.$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Lo scherzo è su di noi. Il motivo per cui sembra "più simmetrico" di | Ψ - ⟩ è perché | Ψ - ⟩ è letteralmente il meno simmetrica di Stato di due qubit, e questo lo rende più motivati rispetto | Φ + ⟩ invece di essere meno motivato. Il | Ψ - ⟩ stato è l 'unico antisimmetrica Stato: lo Stato unico che è il - $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$ autovettore dell'operazione SWAP, e quindi implicato nel test SWAP controllato per la distinguibilità dello stato qubit, tra le altre cose.

• Possiamo descrivere fino a una fase globale ( | alfa ⟩ | alfa ⊥ ⟩ - | alfa ⊥ ⟩ | alfa ⟩ ) /$\lvert \Psi^- \rangle$ per letteralmente qualsiasi stato a singolo qubit| alfa⟩e lo stato ortogonali| alfa⊥⟩, il che significa che le proprietà che lo rendono interessante sono indipendenti dalla scelta della base.$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$$\lvert \alpha^\perp \rangle$
• Anche la fase globale che usi per scrivere lo stato non influisce sulla definizione di | Ψ - ⟩ fino a più di una fase globale. Lo stesso non vale per | Φ + ⟩ : come esercizio per il lettore, se | 1 ′ ⟩ = i | 1 ⟩ , allora che cosa è ( | 00 ⟩ + | 1 ' 1 ' ⟩ ) /$\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$ ?$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

Nel frattempo, è solo uno stato massimamente impigliato nel sottospazio simmetrico tridimensionale su due qubit - il sottospazio di + 1 autovettori dell'operazione SWAP - e quindi non più distinto in linea di principio di, diciamo, | Φ - ⟩ alfa | 00 ⟩ - | 11 ⟩ .$\lvert \Phi^+ \rangle$$+1$$\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$

Dopo aver appreso qualcosa o due sugli stati di Bell, diventa chiaro che il nostro interesse per in particolare è motivato solo da una simmetria superficiale della notazione e non da proprietà matematiche veramente significative. È certamente una scelta più arbitraria di | Ψ - ⟩ . L'unica motivazione evidente per preferire | Φ + ⟩ sono ragioni sociologiche legate all'evitare segni meno e unità immaginarie. E l'unica ragione giustificabile che mi viene in mente per questo sono culturali: in particolare, al fine di accogliere meglio studenti o scienziati informatici.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Chi ha ordinato CNOT?

Ci chiedi perché non parliamo più di . Per me la domanda più interessante che poni anche tu: parliamo così tanto diH=(X+Z) /$(X + Y)\big/\sqrt 2$ , quando$H = (X + Z)\big/\sqrt 2$ fa molte delle stesse cose? Ho visto discorsi tenuti da fisici ottici sperimentali agli studenti, che descrivono persino l'esecuzione$\sqrt Y$ su base standard dichiaradieseguire un cancello Hadamard: ma era un$\sqrt Y$Cancello a Y che in realtà era più naturale per lui. L'operatore$\sqrt Y$ è anche più direttamente correlato agli operatori di Pauli, ovviamente. Un fisico serio potrebbe considerare curioso che invece ci soffermiamo così tanto sull'Hadamard.$\sqrt Y$

Ma c'è un elefante più grande nella stanza: quando parliamo di CNOT, perché stiamo parlando di CNOT, invece di un altro cancello intricato che è simmetrico sui suoi fattori tensoriali, o meglio ancora U = exp ( - i π ( Z ⊗ Z ) / 2 $\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$$U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$quale è più strettamente correlato alla dinamica naturale di molti sistemi fisici? Per non parlare di un unitario come o altre varianti simili.$U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$

La ragione, ovviamente, è che siamo esplicitamente interessati al calcolo piuttosto che alla fisica in sé. Ci preoccupiamo per CNOT perché come trasforma la base standard (una base che è preferita non per ragioni matematiche o fisiche, ma per ragioni centrate sull'uomo ). Il cancello sopra è leggermente misteriosa dal punto di un informatico: non è evidente sulla superficie di quello che è per , e peggio, è pieno di coefficienti complessi icky. E il cancello U ′ è anche peggio. Al contrario, CNOT è un operatore di permutazione, pieno di 1 e 0, che consente la base standard in un modo che è ovviamente rilevante per l'informatica.$U$$U'$

Anche se mi sto divertendo un po 'qui, alla fine questo è ciò per cui stiamo studiando il calcolo quantistico . Il fisico può avere una visione più approfondita dell'ecologia delle operazioni elementari, ma ciò che lo scienziato informatico si preoccupa alla fine della giornata è come le cose primitive possono essere composte in procedure comprensibili che coinvolgono dati classici. Ciò significa non preoccuparsi troppo della simmetria ai livelli logici inferiori, purché possano ottenere ciò che vogliono da quei livelli inferiori.

Parliamo di CNOT perché è la porta a cui vogliamo passare il tempo a pensare. Da una prospettiva fisica cancelli come e U ′ come sopra sono in molti casi le operazioni a cui dovremmo pensare per realizzare il CNOT, ma il CNOT è la cosa a cui teniamo.$U$$U'$

Ragioni profonde, e non così profonde, per preferire la porta Hadamard

Mi aspetto che le priorità degli informatici motivino molte delle nostre convenzioni, come ad esempio il motivo per cui parliamo di , invece di$(X + Z)\big/\sqrt 2$ .$\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$

L'operazione Hadamard fa già un po 'paura agli scienziati informatici che non conoscono già la teoria dell'informazione quantistica. (Il modo in cui viene usato suona come non determinismo e usa persino numeri irrazionali!) Ma una volta che uno scienziato informatico supera la repulsione iniziale, la porta Hadamard ha proprietà che possono piacere: almeno coinvolge solo coefficienti reali, è auto-inverso, e puoi persino descrivere l'autofisica di con coefficienti reali.$H$

Un modo in cui spesso si presenta Hadamard è nel descrivere la commutazione tra la base standard e 'la' base coniugato$\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$ (vale a dire, l'eigenbasis del X dell'operatore, in contrapposizione alla Y dell'operatore) - il cosiddetto 'po' e le basi 'fase', che sono due basi coniugate che è possibile esprimere utilizzando solo coefficienti reali . Certo,$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$X$$Y$ si trasforma tra queste basi, ma introduce anche una trasformazione non banale se la si esegue due volte. Se vuoi pensare a "alternare tra due basi diverse in cui è possibile memorizzare informazioni", la porta Hadamard è migliore. Ma - questo può essere difendibile solo se pensi che sia importante specificatamente avere$\sqrt Y$

• una porta trasforma tra la base standard e la base molto specifica di | + ⟩ , | - ⟩ ;$H$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$
• se ti interessa in particolare che abbia un ordine 2 .$H$$2$

$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$$2$, in linea con l'idea di alternanza, ciò sembra indicare una particolare preferenza per considerare le cose mediante "capovolgimenti" piuttosto che cambiamenti reversibili della base. Queste priorità colpiscono gli interessi dell'informatica.

$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$H$$\sqrt Y$$(X + Y)\big/\sqrt 2$

Argomento diagonale

Se sei uno scienziato informatico, una volta che hai Hadamard e CNOT, tutto ciò che resta è ottenere quelle fastidiose fasi complesse ordinate come ripensamento. Queste fasi sono estremamente importanti, ovviamente. Ma il modo in cui parliamo di fasi relative rivela un disagio con l'idea. Anche descrivere la base standard come base "bit", per la memorizzazione delle informazioni, pone una forte enfasi sul fatto che qualunque sia la "fase", non è il solito modo in cui si considererebbe la memorizzazione delle informazioni. Fasi di ogni sorta sono qualcosa da affrontare dopo il "vero" affare di gestire le ampiezze delle ampiezze; dopo aver affrontato il fatto che si possono archiviare informazioni in più di una base. Parliamo a malapena di fasi relative anche puramente immaginarie se possiamo aiutarlo.

$T \propto \sqrt[4]Z$$X$$Y$$\sqrt[4]X$$\sqrt[4]Y$

E non un momento troppo presto - perché gli informatici non si preoccupano proprio di quali siano le operazioni primitive utilizzate non appena possono giustificare il passaggio a qualcosa di livello superiore.

Sommario

Non credo che ci possa essere un motivo motivato fisicamente molto interessante per cui utilizziamo un determinato set di gate. Ma è certamente possibile esplorare le ragioni psicologicamente motivate per cui lo facciamo. Quanto sopra è una speculazione in questa direzione, informata da una lunga esperienza.