Scopo dell'utilizzo di Fidelity nel benchmarking randomizzato

Spesso, quando si confrontano matrici a due densità, e (come quando è un'implementazione sperimentale di un ideale ), la vicinanza di questi due stati è data dalla fedeltà dello stato quantico con l'infedeltà definita come . $\rho$ $\sigma$ $\rho$ $\sigma$

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$

1 - F

$1-F$

Allo stesso modo, confrontando quanto è vicina un'implementazione di un gate con una versione ideale, la fedeltà diventa dove è lamisura di Haarsugli stati puri. Non sorprende, questo può diventare relativamente spiacevole con cui lavorare.

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$

d ψ

$d\psi$

Ora, definiamo una matrice nel caso di matrici di densità, o quando si lavora con cancelli. Quindi, le norme di Schatten ¹ , come $M = \rho - \sigma$ $M = U - \tilde U$ ,o altre norme, come lanormadeldiamante,possono essere calcolate. $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$

Queste norme sono spesso più facili da calcolare ² rispetto alla Fedeltà di cui sopra. Ciò che peggiora le cose è che nei calcoli di benchmarking randomizzati , l' infedeltà non sembra nemmeno essere una grande misura , ma è il numero che viene usato ogni volta che ho visto quando guardavo i valori di benchmarking per i processori quantistici. ³

Quindi, perché è (in) fedeltà il valore di riferimento per il calcolo degli errori di gate nei processori quantistici (usando benchmark randomizzati), quando non sembra avere un significato utile e altri metodi, come le norme di Schatten, sono più facili da calcolare su un computer classico?

^{1 La norma p di Schatten di è $M$ $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 cioè collegare un modello di rumore su un computer (classico) e simulare}

^{3 Come IBM QMX5}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— Mithrandir24601
fonte

Nielsen e Chuang nel loro libro "Calcolo quantistico e informazioni quantistiche" hanno una sezione (capitolo 9) sulle misure di distanza per l'informazione quantistica.

Sorprendentemente dicono nella sezione 9.3 "In che modo un canale quantico conserva le informazioni?" che quando si confronta la fedeltà alla norma traccia:

Usando le proprietà della distanza della traccia stabilite nell'ultima sezione non è difficile, per la maggior parte, dare uno sviluppo parallelo basato sulla distanza della traccia. Tuttavia, si scopre che la fedeltà è uno strumento più facile da calcolare, e per questo motivo ci limitiamo a considerazioni basate sulla fedeltà.

Immagino che questo sia in parte il motivo per cui viene usata la fedeltà. Sembra abbastanza utile come misura statica della distanza.

Sembra inoltre che vi siano estensioni relativamente semplici della fedeltà agli insiemi di stati

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

la probabilità di preparare il sistema negli stati , ed il canale di interesse particolarmente rumoroso, . $p_j$ $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

C'è anche un'estensione alla fedeltà dell'entanglement, per misurare quanto bene un canale preserva l'entanglement. Dato uno stato assunto in qualche modo impigliato nel mondo esterno e una purificazione dello stato (sistema fittizio ), tale che è puro. Lo stato è sottoposto a dinamiche nel canale . I numeri primi indicano lo stato dopo l'applicazione dell'operazione quantistica. è la mappa di identità sul sistema di . $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

Ci sono alcune formule derivate per semplificare i calcoli di fedeltà e fedeltà di entanglement forniti anche nel capitolo.

Una delle proprietà attraenti della fedeltà entanglement è che esiste una formula molto semplice che consente di calcolarlo esattamente.

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

dove gli 'elementi dell'operazione' soddisfare una relazione completezza. Forse qualcun altro può commentare implementazioni più pratiche, ma questo è ciò che ho raccolto leggendo. $E_i$

Aggiornamento 1: Re M.Stern

È lo stesso riferimento Nielsen e Chuang. Commentano questo dicendo "Potresti chiederti perché la fedeltà che appare sul lato destro della definizione è quadrata. Ci sono due risposte a questa domanda, una semplice e una complessa. La semplice risposta è che includere questo termine quadrato rende la fedeltà dell'ensemble più naturalmente correlata alla fedeltà dell'entanglement, come definita di seguito. La risposta più complessa è che l'informazione quantistica è, allo stato attuale, in uno stato di infanzia e non è del tutto chiaro quali siano le definizioni "corrette" per nozioni come l'informazione la conservazione è! Tuttavia, come vedremo nel capitolo 12, la fedeltà media dell'ensemble e la fedeltà dell'entanglement danno origine a una ricca teoria dell'informazione quantistica, che ci porta a credere che queste misure siano sulla buona strada,

Per rispondere alla tua seconda domanda sul perché non guardare la fedeltà della , c'è un bel punto di cui al "misure distinguibilità tra insiemi di stati quantistici" che credo sia in PhysRevA ma c'è una versione arXiv qui . $\bar{\rho}$

Il punto che menzionano a pag 4, supponiamo che tu abbia due ensemble e che hanno la stessa matrice di densità media ensemble, , quindi la fedeltà non può distinguere tra loro. $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Aggiornamento 2: Re Mithrandir24601 Quindi una definizione per la fedeltà del gate è motivata pensando a quale sia il comportamento peggiore di un canale , per un dato stato di input. $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

A causa della concavità in entrambi gli argomenti che puoi limitare agli stati puri in questa minimizzazione, l'equivalenza nella seconda parte è solo notazione.

Nel definire quanto bene sia implementato un gate, si può anche guardare all'implementazione nel caso peggiore di un gate unitario da parte di un canale definendo $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Nella formula che hai dato e nel documento che hai collegato, si integrano su , con una misura appropriata . Questo mi fa pensare che questo dovrebbe essere considerato invece come una fedeltà media , che puoi immaginare potrebbe essere più utile negli esperimenti pratici, specialmente se stai ripetendo l'esperimento. Probabilmente è improbabile che raggiunga il minimo esatto. $\psi$ $^*$ $\bar{F}(U,\tilde{U})$

C'è una versione di arXiv di un articolo qui di Michael Nielsen in cui parla della fedeltà alla porta media.

L'unica differenza aggiuntiva tra la fedeltà di un cancello e la fedeltà media di un cancello menzionata rispetto alla formula che hai inizialmente fornito, è il quadrato della traccia: che hai. Come nell'aggiornamento 1, alcune persone preferiscono usare come fedeltà piuttosto che , poiché si suppone che possa essere collegato più prontamente alla fedeltà entanglement. Ho bisogno di leggere qualcosa in più per commentare correttamente. $[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

( )A parte: penso che definirlo una "misura Haar" potrebbe essere fuorviante, l'ho visto anche nei giornali. Per quanto ne so, lo spazio degli stati puri è di solito topologicamente , per unospazio di Hilbert dimensionale. Apparentemente la misura che usano è ereditata dalla misura haar su da un quoziente che ho letto qui:/physics//a/98869/41998. $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

— snulty
fonte

Ciò fornisce una spiegazione ragionevole del perché potrebbe essere utile per gli stati e la parte sulla fedeltà dell'entanglement è sicuramente interessante. Tuttavia, il problema che ho è (come in questo documento ) che fare la stessa cosa per cancelli non funziona allo stesso modo. (a meno che non mi manchi qualcos'altro)

— Mithrandir24601

Potresti fornire un riferimento per la fedeltà degli ensemble di cui parli? Perché è diverso dalla fedeltà dello stato misto

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$

— M. Stern,

@ M.Stern Ho spostato i miei commenti in un aggiornamento.

— Snulty

@ Mithrandir24601 Mi scuso per essere lento a rispondere, ho cercato di trovare il tempo di leggere il documento che hai collegato e il tempo di scrivere una risposta! Vedi aggiornamento 2.

— snulty il

Per quanto riguarda la tua parte, hai ragione: sono solo un fisico pigro. Si è (a mia conoscenza) una misura di Haar, ma definendola una 'misura di Haar sugli stati' è, sì, non esattamente l'affermazione più tecnicamente accurata mai ... Che cosa è un po 'più preoccupante è che arXiv attualmente sembra essere giù :(

— Mithrandir24601