Limiti di velocità espliciti di Lieb-Robinson

I limiti di Lieb-Robinson descrivono come gli effetti vengono propagati attraverso un sistema a causa di un hamiltoniano locale. Sono spesso descritti nel modulo

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$ dove e sono operatori che sono separate da una distanza su un reticolo in cui all'Hamiltoniana ha (es vicini vicini) interazioni locali in detto reticolo, delimitate da una certa forza . Le prove del limite di Lieb Robinson mostrano in genere l'esistenza di una velocità

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$ (dipende da ). Questo è spesso molto utile per limitare le proprietà di questi sistemi. Ad esempio, ci sono stati alcuni bei risultati qui per quanto riguarda il tempo necessario per generare uno stato GHZ con un primi vicini di Hamilton.

J

$J$

Il problema che ho avuto è che le prove sono sufficientemente generico che è difficile ottenere un valore stretto su ciò che la velocità in realtà è per ogni dato sistema.

Per essere precisi, immagina una catena unidimensionale di qubit accoppiata da un Hamiltoniano dove per tutti . Qui , e rappresentano un operatore Pauli applicato a un dato qubit , e ovunque. Puoi dare un limite superiore (cioè il più stretto possibile) per la velocità di Lieb-Robinson per il sistema in Eq. (1)?

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$

n

$n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

Z_{n}

$Z_n$

n

$n$

I

$\mathbb{I}$ $v$

Questa domanda può essere posta sotto due diversi presupposti:

Il e sono tutti fissati nel tempo $J_n$ $B_n$
Il e possono variare nel tempo. $J_n$ $B_n$

Il primo è un presupposto più forte che può facilitare le prove, mentre il secondo è di solito incluso nella dichiarazione dei limiti di Lieb-Robinson.

Motivazione

Il calcolo quantico e, più in generale, l'informazione quantistica, si riduce a creare stati quantistici interessanti. Attraverso lavori come questo , vediamo che le informazioni impiegano un certo tempo per propagarsi da un posto all'altro in un sistema quantistico in fase di evoluzione a causa di un hamiltoniano come in Eq. (1) e che gli stati quantistici, come gli stati GHZ, o gli stati con un ordine topologico, impiegano un certo tempo per produrre. Ciò che il risultato attualmente mostra è una relazione di ridimensionamento, ad esempio il tempo richiesto è $\Omega(N)$ .

Quindi, diciamo che mi è venuta in mente uno schema che fa il trasferimento di informazioni, o produce un GHZ stato, ecc in modo che le scale in modo lineare in $N$ . Quanto è buono questo schema in realtà? Se ho una velocità esplicita, posso vedere quanto il coefficiente di ridimensionamento è strettamente associato al mio schema rispetto al limite inferiore.

Se penso che un giorno quello che voglio vedere è un protocollo implementato in laboratorio, allora mi preoccupo molto di ottimizzare questi coefficienti di ridimensionamento, non solo l'ampia funzionalità di ridimensionamento, perché più veloce posso implementare un protocollo, meno possibilità ci sono è per far venire il rumore e rovinare tutto.

Ulteriori informazioni

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Ci sono alcune belle caratteristiche di questo hamiltoniano che presumo facilitano il calcolo. In particolare, l'Hamiltoniano ha una struttura sottospaziale basata sul numero di 1s nella base standard (si dice che preservi l'eccitazione) e, ancora meglio, la trasformazione Jordan-Wigner mostra che è possibile derivare tutte le proprietà dei sottospazi di eccitazione più elevati dal sottospazio 1-eccitazione. Ciò significa in sostanza abbiamo solo fare i calcoli su matrice anziché l'intero matrice , dove Vi sono alcune prove che la velocità di Lieb-Robinson sia , come ad esempio $N\times N$ $h$ $2^N\times 2^N$ $H$

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$

v = 2 J

$v=2J$

qui e qui , ma tutti usano una catena quasi accoppiata uniformemente, che ha una velocità di gruppo (e presumo che la velocità di gruppo sia strettamente connessa alla velocità di Lieb-Robinson). Non dimostra che tutte le possibili scelte della forza di accoppiamento abbiano una velocità così limitata.

2 J

$2J$

Posso aggiungere un po 'di più alla motivazione. Si consideri l'evoluzione temporale di una singola eccitazione partire da un'estremità della catena, , e ciò che la sua ampiezza sia per arrivare all'altra estremità della catena , poco tempo tardi. Al primo ordine in , questo è Puoi vedere la funzionalità esponenziale che ti aspetteresti di essere al di fuori del "cono di luce" definito da un sistema Lieb-Robinson, ma, soprattutto, se volessi massimizzare quell'ampiezza, imposteresti tutte le $\ket{1}$ $\ket{N}$ $\delta t$ $\delta t$

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$

J_{n} = J

$J_n=J$ . Quindi, in tempi brevi, il sistema uniformemente accoppiato porta al trasferimento più rapido. Cercando di spingerci oltre, puoi chiedere, come un po 'di confusione, quando può Prendere il limite grande e usare la formula di Stirling sul fattoriale porta a che suggerisce una velocità massima di circa . Vicino, ma quasi rigoroso (poiché i termini di ordine superiore non sono trascurabili)!

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$

N

$N$

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$

e J

$eJ$

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
fonte

Hai calcolato il miglior limite LR dalle prove per quel modello? Come si confronta con la velocità che citi?

— Norbert Schuch,

Ok, ammetto che è una domanda di calcolo quantico, almeno il modo in cui la interpreto ora: "Qual è la scelta di

(soggetta ad alcuni vincoli) che produce la massima velocità per informazioni / stato / ... trasferimento." --- È questa la giusta interpretazione?

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— Norbert Schuch,

@NorbertSchuch Non del tutto. Voglio essere in grado di dire "Ho escogitato una serie di accoppiamenti che raggiunge un protocollo con un determinato ridimensionamento. È noto che quel protocollo è vincolato dai limiti di Lieb-Robinson. Quanto sono vicino a saturare quel vincolo?" come misura della velocità del mio protocollo.

— DaftWullie,

@DaftWullie Quindi - hai una domanda: "Quanto sono vicino all'essere ottimale", o "Quanto sono vicino a una sorta di limite (prendendo il più stretto possibile)"?

— Norbert Schuch,

@ user1271772 È corretto.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

Consentitemi prima di rispondere alla domanda generale su come ottenere una velocità Lieb-Robinson (LR) ragionevolmente stretta quando vi trovate di fronte a un modello reticolare generico che interagisce localmente, quindi tornerò al modello 1D XY nella vostra domanda, che è molto speciale per essere esattamente risolvibile.

Metodo generale

Il metodo per ottenere il limite più stretto fino ad oggi (per un modello generico interagente a corto raggio) è introdotto in Ref1 = arXiv: 1908.03997 . L'idea di base è che la norma del commutatore temporale disuguale $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ tra operatori locali arbitrari può essere limitata dalla soluzione a un insieme di equazioni differenziali lineari del primo ordine che vivono sulla grafico della commutatività del modello. Il grafico commutativa, introdotto in Sec.II A Rif1, può essere facilmente tracciata dal modello Hamiltoniano $\hat{H}$ $\hat{H}$ $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ $B_n,J_n$ ). Per il caso di traduzione non invariante e dipendente dal tempo, è possibile risolvere numericamente l'equazione differenziale (che è un compito di calcolo facile per sistemi di migliaia di siti) oppure è possibile utilizzare un limite superiore complessivo e procedere all'utilizzo del metodo seguente (ma questo compromette leggermente la tenuta rispetto al metodo numerico). $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

Innanzitutto disegniamo il grafico della commutatività, come di seguito. Ogni operatore in Hamiltoniano ~ ( , , ) è rappresentato da un vertice e colleghiamo due vertici se e solo se gli operatori corrispondenti non commutano ( o, nella fattispecie, anti-permuta). $X_{n}X_{n+1}$ $Y_nY_{n+1}$ $Z_n$
Quindi annota le equazioni differenziali Eq. (10) di Ref1 :
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \underset{α = 1, 2}{Σ} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
Trasformando Fourier dell'equazione sopra, abbiamo Le autofrequenze sono . La velocità LR è data dall'equazione (31) di Ref1 : dove
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, K} \\ {\bar{γ}}_{2, K} \\ {\bar{γ}}_{3, K} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos K & 0 & B (1 + e^{io K}) \\ 0 & 2 J \cos K & B (1 + e^{io K}) \\ J (1 + e^{- io K}) & J (1 + e^{- io K}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, K} \\ {\bar{γ}}_{2, K} \\ {\bar{γ}}_{3, K} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (io κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{manganello κ + \sqrt{{manganello}^{2} κ + 4 y (1 + manganello κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

Nota: questo limite differisce quando , mentre la velocità di propagazione delle informazioni fisiche rimane limitata. Possiamo eliminare questo problema usando il metodo nel Sez. VI di Ref1 . Il risultato è in questo limite, dove è definito come la soluzione dell'equazione . $B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

Limiti di velocità per alcuni modelli classici

Il metodo sopra è completamente generale. Nel caso in cui tu sia interessato di più, ho elencato i limiti di velocità per alcuni modelli classici nella seguente tabella, ottenuti in modo simile. Si noti che la velocità LR è delimitata dal più piccolo tra tutte le espressioni elencate (quindi nelle diverse regioni di parametri devono essere utilizzate espressioni diverse). La funzione è definita come la radice più grande diTutti i parametri sono considerati positivi (basta prendere il valore assoluto per i casi negativi). $v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Modello & v_{LR} \\ d tridimensionale TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \underset{⟨ m n ⟩}{Σ} X_{m} X_{n} + h \underset{n}{Σ} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d tridimensionale di Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \underset{⟨ m n ⟩, S = ↑, ↓}{Σ} ({un'}_{m, S}^{†} {un'}_{n, S} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17,9 d J \\ + U \underset{n}{Σ} {un'}_{n ↑}^{†} {un'}_{n ↑} {un'}_{n ↓}^{†} {un'}_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{X}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \underset{n}{Σ} (J_{X} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{X}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

Quanto a quanto sono buoni questi limiti, non ho studiato in generale, ma per il TFIM 1D nel punto critico , la soluzione esatta fornisce , mentre il limite sopra dà . Allo stesso modo, nel punto di FH e nel punto di Heisenberg XYZ, il limite sopra è tutto più grande della soluzione esatta di un fattore di . [In realtà in questi punti speciali gli ultimi due sono equivalenti a catene disaccoppiate di TFIM, come si può giudicare direttamente dal loro grafico della commutatività.] $J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

Limite più stretto per 1D XY mappando su fermioni liberi

Ora parliamo di più sul modello 1D XY. Come hai notato, è esattamente risolvibile mappando su fermioni liberi: Per generale è necessario risolvere numericamente il problema del fermione libero, ma vorrei menzionare due casi speciali che sono tracciabili analiticamente.

\hat{H} = \underset{n}{Σ} B_{n} ({un'}_{n}^{†} {un'}_{n} - 1 / 2) + \underset{n}{Σ} J_{n} ({un'}_{n}^{†} {un'}_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ sono fissi e invarianti per la traduzione. Quindi la soluzione esatta è dove è la funzione di Bessel dell'ordine. Quindi la velocità LR è .
$\begin{array}{rcl} {un'}_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{un'}}_{K} e^{- io 2 J t \cos K} e^{io K X} d K \\ = & \underset{m}{Σ} J_{| n - m |} (2 J t) {un'}_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ sono fissi nel tempo ma sono completamente casuali (disordine spento). Quindi, a causa della localizzazione di molti corpi (o della localizzazione di Anderson nella figura del fermione), le informazioni non si propagano in questo sistema, quindi . Più rigorosamente, in arXiv: quant-ph / 0703209 , il seguente limite è dimostrato per caso disordinato: con un cono di luce logaritmico decelerante . $v_{\text{LR}}=0$
$[{UN}_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n S t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— Lagrenge
fonte

Devo dedurre da ciò che dici che per ogni modello (compresi quelli senza invarianza della traduzione) con , che la velocità è ?

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

— DaftWullie, il

@DaftWullie No, è possibile utilizzare solo un limite superiore complessivo per i parametri nel metodo generale, poiché il metodo generale fornisce sempre un limite rigorosamente non decrescente nel valore assoluto di qualsiasi coefficiente. Il limite è ottenuto dalla soluzione esatta a fermione libero, in cui non è possibile utilizzare un limite superiore complessivo per i parametri e deve essere risolto caso per caso. Se è invariante per la traduzione, puoi impostare nel metodo generale poiché il termine commuta con e ottieni .

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

— Lagrenge,

@DaftWullie Caro DaftWullie, se pensi che manchi ancora qualcosa nella mia risposta, o qualsiasi punto non sia ancora chiaro, per favore fatemelo sapere.

— Lagrenge,

la risposta sembra potenzialmente utile. Non ho ancora avuto il tempo di guardare il tuo giornale (potrebbero essere un paio di settimane). Supponendo di aver capito tutto bene, questo è il punto in cui accetterò la tua risposta.

— DaftWullie il