Alternativa alla sfera Bloch per rappresentare un singolo qubit

Per rappresentare il singolo qubit $|\psi\rangle$ usiamo un vettore unitario in $\mathbb{C}^2$ spazio di Hilbert cui (uno dei) Base ortonormale è $(|0\rangle, |1\rangle)$ .

Possiamo disegnare utilizzando una palla Bloch . Tuttavia, ho trovato questa notazione piuttosto confusa, perché i vettori ortogonali sono spazialmente antiparalleli ( breve spiegazione in questa domanda di Stackexchange di fisica ).$|\psi\rangle$

Conosci qualche rappresentazione grafica diversa per un singolo qubit?

Nel link incluso nella tua domanda, riguardo un'altra domanda scritta dall'utente098876, "Comprendere la sfera di Bloch", Daniel fa un utile commento:

"Disegnare punti sulla sfera per rappresentare lo stato di un sistema quantico a due livelli non significa che dovresti pensare a quei punti come vettori reali nello spazio 3D. - DanielSank, 3 settembre 15 alle 20:17".

Spiegazione semplificata: è un piano a due lati (o due piani) proiettato su una sfera.

"Ho trovato questa notazione piuttosto confusa, perché i vettori ortogonali sono spazialmente antiparalleli ( breve spiegazione in questa domanda di scambio di stack di fisica ). Conosci qualche rappresentazione grafica diversa per un singolo qubit?"

Ci sono una serie di sforzi in corso per fornire una rappresentazione più generale che si estende da qubit a qudit. Questa spiegazione e rappresentazione usando una sfera Majorana non è così diversa , è ancora una sfera, ma forse è meno confusa:

Per qubit su una sfera Majorana vedi: " Stati N-qubit come punti sulla sfera Bloch ".

"Riassunto. Mostriamo come la rappresentazione Majorana può essere usata per esprimere gli stati puri di un sistema N-qubit ... In conclusione, la rappresentazione Majorana è utile quando si studiano particelle di spin- , mentre la rappresentazione alternativa è preferibile quando il vengono discussi gli stati di un sistema N- qubit. Oltre a aiutare a visualizzare gli stati N -qubit e il modo in cui si trasformano in rotazioni e altre operazioni, quest'ultima rappresentazione può anche aiutare a identificare alcuni stati speciali di N- qubit, come ha fatto la rappresentazione Majorana in il contesto dei condensati di spin Bose-Einstein ".$S$$N$$N$$N$

Vedi: " Rappresentazione Majorana, spazio di Hilbert qutrit e implementazione NMR di porte qutrit ":

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"La sfera di Bloch fornisce una rappresentazione degli stati quantistici di un singolo qubit su (una sfera unitaria in tre dimensioni reali), con stati puri mappati sulla superficie e gli stati misti che giacciono all'interno. Questa rappresentazione geometrica è utile in fornendo una visualizzazione degli stati quantistici e delle loro trasformazioni, in particolare nel caso del calcolo quantistico basato su NMR, in cui lo spin- 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$ magnetizzazione 2 e la sua trasformazione attraverso impulsi NMR rf sono visualizzati sulla sfera di Bloch. Ci sono state diverse proposte per la rappresentazione geometrica per sistemi quantistici di livello superiore, tuttavia le estensioni di un'immagine simile a una sfera di Bloch a spin superiori non sono semplici. Majorana ha proposto una rappresentazione geometrica in cui, uno stato puro di spin '' è rappresentato da punti '2s' sulla superficie di una sfera unitaria, chiamata sfera Majorana.$s$$_s$

La rappresentazione Majorana per sistemi di spin ha trovato applicazioni diffuse come la determinazione della fase geometrica degli spin, la rappresentazione di N spinor per N punti, la rappresentazione geometrica di stati entangled multi-qubit, le statistiche dei sistemi dinamici quantistici caotici e la caratterizzazione della luce polarizzata. Un singolo qutrit (sistema quantistico a tre livelli) è di particolare importanza negli schemi di calcolo quantistico basati su qudit ( sistema quantistico a livello d ). Un qutrit è il sistema più piccolo che presenta caratteristiche quantistiche intrinseche come la contestualità, che è stata ipotizzata essere una risorsa per il calcolo quantistico . Il calcolo quantistico qudit NMR può essere eseguito utilizzando nuclei con spin s> 1$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ o può essere modellato da due o più spin-1accoppiati$\frac{1}{2}$ nuclei. In questo lavoro usiamo la descrizione della sfera Majorana di un singolo qutrit, in cui gli stati di un qutrit sono rappresentati da una coppia di punti su una sfera unitaria, per fornire approfondimenti nello spazio degli stati qutrit.

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La grandezza del vettore di magnetizzazione → M | in un insieme puro di un singolo qutrit può assumere valori nell'intervallo [ 0 , 1 ] . Al contrario, l'ensemble puro di un qubit possiede sempre la grandezza unitaria del vettore di magnetizzazione ad esso associato$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . L'immagine geometrica del singolo vettore di magnetizzazione qutrit è fornita dalla rappresentazione Majorana. Il valore → M | dipende dalla lunghezza della bisettrice O O ′ e giace lungo la$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-asse ed è invariante a rotazione. Così corrispondente ad un dato valore della lunghezza della bisettrice, si possono assumere sfere concentriche con raggi in continua variazione, le cui superfici sono le superfici di magnetizzazione costante. I raggi di queste sfere sono uguali a → M | , che variano nell'intervallo [ 0 , 1 ] .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

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OSSERVAZIONI CONCLUSIVE

Una rappresentazione geometrica di un qutrit è descritta in questo lavoro, in cui gli stati di qutrit sono rappresentati da due punti su una sfera unitaria secondo la rappresentazione Majorana. È stata ottenuta una parametrizzazione di stati a singolo qutrit per generare stati arbitrari da una famiglia di stati canonici a un parametro tramite l'azione delle trasformazioni . Il vettore di magnetizzazione spin- 1 era rappresentato sulla sfera Majorana e gli stati venivano identificati come 'puntamento' o 'non puntamento' in base al valore zero o diverso da zero della magnetizzazione di spin. Le trasformazioni generate dall'azione di S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$i generatori furono anche integrati nel quadro geometrico Majorana. A differenza dei qubit, la decomposizione delle porte quantiche a singolo qutrit in termini di impulsi a radiofrequenza non è semplice e la rappresentazione della sfera di Majorana fornisce un modo per descrivere geometricamente queste porte. Sono state utilizzate osservazioni ravvicinate della dinamica dei punti che rappresentano un qutrit sulla sfera Majorana sotto l'azione di varie porte quantistiche per ottenere le decomposizioni dell'impulso RF e le porte di base a singolo qutrit sono state implementate sperimentalmente usando NMR.

FIGURA. 1. Un qutrit sulla sfera Majorana è rappresentato da due punti e P 2 , collegati al centro della sfera da linee mostrate rispettivamente in rosso e blu. θ 1 , ϕ 1 sono gli angoli polari e azimutali corrispondenti al punto P 1 ( θ 2 , ϕ 2 sono gli angoli per il punto P 2 ). (a) Le radici del polinomio di Majorana sono mostrate nel piano z = 0 dai punti P ′ 1 e P ′ $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, la cui proiezione stereografica dà origine alla rappresentazione Majorana. Vengono mostrati tre esempi corrispondenti alla rappresentazione Majorana dei vettori base a singolo qutrit , ( $(b)\;\vert+1\rangle$ e ( $(c)\;\vert0\rangle$$(d)\;\vert-1\rangle$ . Uno dei punti è mostrato come un cerchio solido (rosso), mentre l'altro punto è rappresentato da un cerchio vuoto (blu).

Vedi: " Majorana Representation of Higher Spin States " (.PDF) di Wheeler (Sito Web) o " Tomografia di Wigner degli stati quantistici multispin ":

Che aspetto ha usando la tomografia - "In questo documento, sviluppiamo teoricamente uno schema di tomografia per funzioni sferiche di stati quantistici multispin arbitrari. Studiamo schemi sperimentali per ricostruire la rappresentazione Wigner generalizzata di un determinato operatore di densità (che rappresenta stati quantistici misti o puri )."

Confrontalo con la complessità della sfera di Bloch rappresentata in: " Rappresentazione a sfera di Bloch di fasi geometriche a tre vertici ". La forma è la stessa, è tutto come visualizzi la proiezione utilizzata.

Ecco un'immagine meno occupata:

Pensa alla sfera Bloch tagliata a metà da un foglio di carta molto grande. Sul bordo del foglio (infinito) qualsiasi punto sulla parte superiore del foglio traccia una linea (infinito) sulla parte superiore della sfera (la parte inferiore della sfera per la parte inferiore del foglio). I punti più vicini al centro del foglio (stati misti) disegnano linee al centro della sfera. Ciò rappresenta la distanza fino all'infinito su una pallina, un qubit / qudit è finito, quindi la carta non è così grande.

Ora disegna i punti sulla carta 2D, disegna le linee dalla carta alla palla, rimuovi la carta e guarda o attraverso la palla trasparente per vedere l'altro punto finale della linea.

Una spiegazione molto più accurata e difficile è offerta nei link sopra.

Aggiungendo a ciò che @pyramids ha trasmesso nella loro risposta :

Lo stato di un qubit è generalmente scritto come , dove α , ß ∈ C , e | α | 2 + | $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$.$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

è uno spazio vettoriale a quattro dimensioni, sopra il campo dei numeri reali. Dal momento cheogni n spazio-dimensionale reale vettore è isomorfo a R n ( R ) , è possibile rappresentare lo stato di ogni qubit come un punto in uno4spazio dimensionale reale, anche, i cui vettori base si può considerare di essere(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$ . In tal caso lo stato di un qubit sarebbe rappresentato come a ( 1 , 0 , 0 , 0 ) + b ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + c ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + d ( 0 , 0 , 0 , 1 $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

Dire, (dove a , b ∈ R ) e β = c + i d (dove c , d ∈ R ). Hai bisogno della condizione | a + i b | 2 + | c + i d | 2 = $\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

$4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Now, using the Hopf coordinates let's say:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

Here, $\theta$ can run from $0$ to $\pi$ whereas, $\psi$ and $\phi+\psi$ can take values between $0$ to $\pi$.

In case you're wondering why $\theta/2$ is being used instead of $\theta$ have a look at the answers on this excellent thread on Physics Stack Exchange.

Okay, even now you notice three degrees of freedom $\psi,\phi,\theta$, whereas in a unit radii sphere, you only have two angles which you can change to get the different states of a qubit.

Notice that $\phi$ is basically the "relative phase" between $\alpha$ and $\beta$. On the other hand $\psi$ does not contribute to the "relative phase" of $\alpha,\beta$. Also, neither $\phi$ nor $\psi$ contribute to the magnitude of $\alpha,\beta$ (since $|e^{i\varphi}|=1$ for any angle $\varphi$). Since $\psi$ contributes neither to "relative phase" nor to the "magnitudes" of $\alpha,\beta$ it is said to have no physically observable consequences and we can arbitrarily choose $\alpha$ to be real by eliminating the factor of $e^{i\psi}$.

Thus we end up with:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ and $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ Where $\theta$ can run from $0$ to $\pi$, and $\phi$ can run from $0$ to $2\pi$.

This practical simplification allows you to represent a qubit's state using just $2$ degrees of freedom on $3$-dimensional spherical surface having unit radius, which again can again efficiently be "drawn" on a $2$-dimensional surface, as shown in the following image.

Mathematically, it is not possible to reduce the degrees of freedom any further, and so, I'd say there is no other "more efficient" geometrical representation of a single qubit than the Bloch sphere.

_{Source: Wikipedia:Bloch_Sphere}

The Bloch sphere historically came about to describe spins where up and down can actually be viewed as being (anti)parallel rather than (mathematically) orthogonal.

You can naturally (and perhaps more naturally!) depict a qubit's state in a way that orthogonal states are indeed orthogonal. Then a pure 1-qubit state occupies a point on the surface of a 4-dimensional sphere.

(Firstly, the "reputation points" requirement is stupid - this remark should be a comment on the previous post.)

A single qubit in a pure state has 2 real degrees of freedom, not 3, when you quotient out both magnitude and phase (i.e., complex normalization). So, most reasonable two-dimensional surfaces could be used (e.g., the 2-sphere or anything topologically equivalent).

Finding a useful representation is another story. The Bloch sphere has a natural extension to mixed states (which have 3 degrees of freedom), whereas this does not appear to be the case otherwise..