Significato di The Church of the Higher Hilbert space

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Il termine " Chiesa dello spazio superiore di Hilbert " viene spesso utilizzato nelle informazioni quantistiche durante l'analisi dei canali e degli stati quantistici.

Che cosa significa questo termine (o, in alternativa, che cosa significa "Andare alla chiesa dello spazio superiore di Hilbert")?

— user3483902
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Puoi pubblicare un riferimento per qualche contesto? Dove hai letto questo termine. Grazie.

— Andrew O

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La chiesa dello spazio Hilbert più grande (o più alto, o più grande) è solo un trucco che ad alcune persone piace (me compreso) per riscrivere alcune operazioni.

Le operazioni più generali che puoi scrivere per un sistema sono descritte da mappe completamente positive, mentre ci piace descrivere le cose con unità unitarie, che puoi sempre fare spostando dallo spazio originale di Hilbert a uno più grande (cioè aggiungendo più qubit). Allo stesso modo, per le misurazioni, è possibile trasformare misurazioni generali in misurazioni proiettive aumentando le dimensioni dello spazio di Hilbert. Inoltre, gli stati misti possono essere descritti come stati puri di un sistema più ampio.

Esempio

$1-p$ $p$ $X$

| ψ ⟩ ⟨ ψ | \mapsto (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X

$|\psi\rangle\langle\psi|\mapsto (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X$

\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩

$\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle$

| ψ ⟩ (\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩) \mapsto | Ψ ⟩ = \sqrt{1 - p} | ψ ⟩ | 0 ⟩ + \sqrt{p} (X | ψ ⟩) | 1 ⟩ .

$|\psi\rangle(\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle)\mapsto|\Psi\rangle=\sqrt{1-p}|\psi\rangle|0\rangle+\sqrt{p}\left(X|\psi\rangle\right)|1\rangle.$ To get back the action of the system on just the original qubit, you trace out the new qubit:

ρ = {T r}_{2} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X .

$\rho={\rm Tr}_2\left(|\Psi\rangle\langle\Psi|\right)= (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X.$ In other words, you just ignore the existence of the new qubit after you’ve implemented the unitary! Note that as well as demonstrating the church of the larger Hilbert space for operations, this also demonstrates it for states - the mixed state

ρ

$\rho$ can be made into the pure state

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ by increasing the size of the Hilbert space.

— DaftWullie
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"Church of the higher hilbert space" is a term coined by John Smolin. According to quantiki it is:

for the dilation constructions of channels and states, which [...] provide a neat characterization of the set of permissible quantum operations

and to quote wikipedia, it:

describe[s] the habit of regarding every mixed state of a quantum system as a pure entangled state of a larger system, and every irreversible evolution as a reversible (unitary) evolution of a larger system.