Qual è la differenza tra "spazio codice", "parola codice" e "codice stabilizzatore"?

Continuo a leggere (ad esempio Nielsen e Chuang, 2010; pag. 456 e 465) le seguenti tre fasi; "spazio del codice", "parola del codice" e "codice dello stabilizzatore" - ma sto avendo difficoltà a trovare definizioni di essi e, soprattutto, in che modo differiscono l'uno dall'altro.

La mia domanda è quindi; come vengono definiti questi tre termini e come sono correlati?

— Spaghettificazione quantistica
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Spazi di codice e parole-codice

Un codice quantico di correzione dell'errore viene spesso identificato con lo spazio del codice (Nielsen e Chuang sembrano certamente farlo). Lo spazio del codice ad esempio un codice di correzione dell'errore quantico -qubit, è un sottospazio vettoriale . $\mathcal C$ $n$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

Una parola in codice (terminologia che è stata presa in prestito dalla teoria classica della correzione degli errori) è uno stato per un po 'di spazio del codice: cioè, è uno stato che codifica alcuni dati. $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

Codici di correzione degli errori quantistici

In pratica, richiediamo alcune proprietà non banali per contenere un codice di correzione dell'errore quantico, come:

Quella , in modo che vi sia una quantità diversa da zero di informazioni codificate; $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
Che ci sia un set di almeno due operatori incluso l'operatore , tale che - se è il proiettore ortogonale su - abbiamo per alcuni scalari (noti come condizioni di Knill – Laflamme ). $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

Questo determina una serie di operatori di errore contro i quali in linea di principio è possibile proteggere uno stato , in quanto se le condizioni di Knill – Laflamme detengono un insieme di operatori e alcuni operatori agisce sul tuo stato, è possibile in linea di principio rilevare il fatto che è verificato (al contrario di qualche altro operatore in ) e annullare l'errore, senza interrompere i dati memorizzati nello stato originale . $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

Un codice di correzione dell'errore quantistico è uno spazio-codice , insieme a un insieme di operatori di errore che soddisfano le condizioni di Knill-Laflamme - ovvero, un codice di correzione di errore quantistico deve specificare da quali errori deve proteggere . $\mathcal C$ $\mathcal E$

Perché è comune identificare codici quantici di correzione di errori con i loro spazi di codice

Non è possibile determinare un insieme unico degli operatori che soddisfano le condizioni Knill-LaFlamme dal codice-spazio solo. Tuttavia, è più comune considerare quali operatori a basso peso (quelli che agiscono solo su un piccolo numero di qubit) possono essere corretti simultaneamente in modo corretto da un codice, e in parte ciò può essere derivato dal solo spazio del codice. La distanza del codice di uno spazio di codice è il numero più piccolo di qubit su cui devi agire, per trasformare una "parola-codice" in una parola chiave distinta . Se poi descriviamo uno spazio di codice come a $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ $[\![n,k,d]\!]$ , questo indica che ha dimensione e che l'insieme che consideriamo è l'insieme di tutti gli operatori Pauli con peso al massimo . $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

In alcuni casi, è sufficiente descrivere un codice come un codice . Ad esempio, il codice a 5 qubit è un codice è possibile mostrare che cinque qubit non possono codificare un singolo qubit in modo tale da correggere eventuali altri errori oltre a tutti gli errori a singolo qubit. Tuttavia, lo stesso non è vero per il codice , Che può proteggere da qualsiasi errore Pauli a qubit singolo nonché da alcuni (ma non tutti) errori Pauli a due qubit. Quali errori Pauli a due qubit dovresti $[\![n,k,d]\!]$ $[\![5,1,3]\!]$ $[\![7,1,3]\!]$ la protezione da dipende dal tuo modello di errore; e se il tuo rumore è simmetrico e distribuito in modo indipendente, non importa molto ciò che scegli (in modo che tu possa probabilmente fare la scelta convenzionale di un singolo errore insieme a un singolo errore ). È comunque una scelta , che guiderà il modo in cui proteggi i tuoi dati dal rumore. $X$ $Z$

Codici stabilizzatori

Un codice stabilizzatore è un codice di correzione dell'errore quantistico determinato da un set di generatori di stabilizzatori , che sono operatori di Pauli che commutano tra loro e che definiscono uno spazio-codice dall'intersezione dei loro + 1-eigenspace. (È spesso utile considerare il gruppo stabilizzatore formato dai prodotti di ) $\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

Quasi tutti i codici di correzione degli errori quantistici che le persone considerano in pratica sono codici stabilizzatori. Questo è uno dei motivi per cui potresti avere problemi a distinguere i due termini. Tuttavia, non richiediamo che un codice di correzione dell'errore quantistico sia un codice stabilizzatore, proprio come in linea di principio non richiediamo che un codice di correzione dell'errore classico sia un codice lineare. I codici stabilizzatori sono solo un modo estremamente efficace per descrivere i codici di correzione degli errori quantistici, così come i codici di correzione degli errori lineari sono un modo estremamente efficace per descrivere i codici di correzione degli errori classici. E in effetti, i codici stabilizzatori possono essere considerati una generalizzazione naturale della teoria dei codici lineari classici alla correzione dell'errore quantistico.

Poiché le persone sono spesso interessate solo agli operatori di peso ridotto che sono meno della metà della distanza del codice, l'insieme di stabilizzatori è spesso tutto ciò che la gente dice di un codice di correzione dello stabilizzatore. Tuttavia, per specificare la serie di errori contro la quale il codice può proteggere, è necessario anche specificare una relazione tra gli operatori del prodotto Pauli e i sottoinsiemi , tali che $\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

$E$ anticommuta con se e solo se per ; $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
Se soddisfano entrambi e , allora . $E, E'$ $\sigma(E,S)$ $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

Questo definisce un insieme di errori contro i quali il codice può proteggere. I sottoinsiemi sono chiamati sindromi di errore e la relazione che ho chiamato qui (che di solito non si vede con un nome esplicito) associa le sindromi a uno o più errori che "causano" quella sindrome e i cui effetti sul codice sono equivalenti.

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

Le "sindromi" rappresentano informazioni che possono essere effettivamente ottenute su un errore mediante una "misurazione coerente", vale a dire misurando gli operatori come osservabili (un processo che di solito viene simulato mediante la stima degli autovalori). Un errore 'causa' una sindrome se, per qualsiasi parola-codice , lo stato trova nello spazio di di tutti operatori , e nella -eigenspace di tutti gli altri operatori . (Questa proprietà è direttamente correlata all'anticommutazione di con tutti gli elementi di $P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ e solo quegli elementi.)

— Niel de Beaudrap
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Nel tuo secondo paragrafo dici che una parola in codice è uno stato in cioè uno stato che codifica alcuni dati. Stai dicendo quello che sembrano dire le altre risposte - vale a dire le parole in codice sono quegli stati che associamo, ad esempio, logico e . O che più in generale qualsiasi stato in è chiamato parole in codice?

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

— Spaghettificazione quantistica,

La terminologia può variare leggermente. Ad esempio, leggi la tesi di Gottesman, e parla di una parola in codice che è uno stato valido nello spazio del codice, e distingue le "parole in codice base" come lo 0 e 1. logici

— DaftWullie,

@QuantumSpaghettification: come suggerisce DaftWullie, voglio dire qualsiasi stato in . Molto spesso è un errore essere troppo preoccupati della base standard. Storicamente, era più semplice descrivere un QECC in riferimento all'intervallo di due stati particolari e descrivere le proprietà correttive in termini di quei due stati. La teoria dei codici stabilizzatori rende superfluo questo tipo di descrizione e consente di essere flessibili con ciò che è il quadro di riferimento logico, quindi è meglio ora evitare di definire le cose in modo da enfatizzare la base standard.

C

$\mathcal C$

— Niel de Beaudrap il

@NieldeBeaudrap Siamo spiacenti di tornare a questo post più di un mese dopo. Ho ragione nel dire che il mapping può essere uno-a-molti se l'effetto dell'errore sulle "parole del codice di base" è degenerato. Sto pensando di sfogliare il codice di Shor.

μ

$\mu$

— Spaghettificazione quantistica

@QuantumSpaghettification: Come ho descritto qui, sarebbe effettivamente necessario prendere per essere apprezzati per il set per fare il lavoro che ho descritto per esso, per un codice degenerato --- che è non esattamente quello che intendevo. Revisionerò la mia risposta a breve.

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

— Niel de Beaudrap,

Una parola in codice (per un codice quantico) è uno stato quantico che è tipicamente associato a uno stato nella base logica. Quindi, avrai uno stato che corrisponde allo stato 0 del qubit da codificare (non devi usare qubit, ma probabilmente lo sei), e ne avrai un altro che è che corrisponde allo stato 1 del qubit da codificare. $|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

Lo spazio del codice è lo spazio attraversato dalle parole del codice, cioè l'intero spazio per tutti i possibili e (normalizzati). $\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

Un codice stabilizzatore è un possibile formalismo per dirti come elaborare le parole del codice e quindi lo spazio del codice. Per un codice [[n, k, d]], ti vengono dati gli operatori di stabilizzatore nk ( ) che si spostano reciprocamente e agiscono su n qubit. Qualsiasi stato nello spazio del codice soddisfa . Avrete inoltre avere operatori e per che tutti i pendolari con gli stabilizzatori , ma a due a due anticommutativi, , per gli indici di corrispondenza. Questi definiscono gli operatori Pauli logici per il codice e le parole in codice sono quindi gli stati che soddisfano $S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$ .

— DaftWullie
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In un codice quantico di correzione degli errori, si memorizzano un numero di qubit logici , , in uno stato di molti qubit fisici, . $k$ $n$

Una parola in codice è uno stato dei qubit fisici associato a uno stato logico specifico. Ad esempio, tuttavia, se si memorizza lo stato per uno dei qubit logici è una parola in codice. $|0\rangle$

Lo spazio del codice è lo spazio di Hilbert attraversato da tutte le possibili parole del codice. Per un codice stabilizzatore, questo termine è sinonimo di spazio stabilizzatore. Qualsiasi stato all'interno di questo spazio di codice è una parola in codice

Un codice stabilizzatore è un codice quantico di correzione dell'errore descritto dal formalismo dello stabilizzatore. Lo spazio stabilizzatore è definito come il reciproco eigenspace dei prodotti tensoriali reciprocamente pendenti e indipendenti di degli operatori di Pauli. $+1$ $n-k$

— James Wootton
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