Perché è cruciale che l'Hamiltoniano iniziale non commuti con l'Hamiltoniano finale nel calcolo quantistico adiabatico?

Ho letto in molte fonti e libri su adiabatica computazione quantistica (AQC) che è cruciale per il primo Hamiltoniana H io di non commutare con il finale di Hamilton H f , cioè [ H i , H f ] ≠ 0 . Ma non ho mai visto una discussione sul perché sia ​​così importante.$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Se assumiamo una dipendenza dal tempo lineare hamiltoniana del AQC è H ( t ) = ( 1 - t

Quindi la mia domanda è: perché è cruciale che l'Hamiltoniano iniziale non permuti con l'Hamiltoniano finale?

Nel controllo qualità adiabatico, codifichi il tuo problema in un hamiltoniano in modo tale che il tuo risultato possa essere estratto dallo stato fondamentale. Preparare quello stato fondamentale è difficile da fare direttamente, quindi si prepara invece lo stato fondamentale di un Hamiltoniano "facile", e poi si interpola lentamente tra i due. Se vai abbastanza lentamente, lo stato del tuo sistema rimarrà nello stato fondamentale. Alla fine del processo, avrai la soluzione.

Funziona secondo il teorema di Adiabatic . Per mantenere il teorema, deve esserci un divario energetico tra lo stato fondamentale e il primo stato eccitato. Più piccolo diventa il divario, più lento è necessario interpolare per evitare la miscelazione tra lo stato fondamentale e i primi stati eccitati. Se il gap si chiude, tale miscelazione non può essere prevenuta e non si può andare abbastanza lentamente. La procedura fallisce a quel punto.

Se il tragitto iniziale e finale in Hamilton, significa che hanno le stesse energie autonome. Quindi concordano su quali stati ricevono energia assegnata e non sono d'accordo solo sulle energie che ottengono. L'interpolazione tra i due hamiltoniani cambia solo le energie. Lo stato fondamentale finale sarebbe quindi stato uno stato eccitato all'inizio e lo stato fondamentale iniziale alla fine si eccita. Ad un certo punto, quando si passeranno l'un l'altro, le energie di questi stati saranno uguali e quindi il divario tra loro si chiuderà. Questo è sufficiente per vedere che il divario energetico deve colmare ad un certo punto.

Avere Hamiltoniani senza pendolarismo è quindi una condizione necessaria per mantenere aperto il divario, e quindi per AQC.

Se due matrici (in questo caso, hamiltoniani) si spostano, hanno gli stessi autovettori. Quindi, se prepari uno stato fondamentale del primo hamiltoniano, allora (approssimativamente parlando) rimarrà un genito per tutta l'evoluzione adiabatica, e quindi uscirai proprio da quello che hai inserito. Non ha alcun valore.

Se vuoi essere un po 'più severo, allora potrebbe essere che il tuo Hamiltoniano iniziale abbia una degenerazione che è sollevata dal secondo Hamiltoniano, e potresti sperare di far evolvere il sistema nello stato fondamentale unico. Si noti, tuttavia, che la degenerazione viene aumentata nell'istante in cui c'è una quantità diversa da zero del secondo hamiltoniano. Qualunque effetto possa avere è istantaneo. Credo che non si ottenga una corretta evoluzione adiabatica. Invece, devi scrivere il tuo stato iniziale come una sovrapposizione delle nuove autostrade, e queste iniziano ad evolversi nel tempo, ma non aumenti mai la sovrapposizione del tuo stato con lo stato target (lo stato fondamentale).

Nel contesto degli ottimizzatori Ising che hanno un Hamiltoniano iniziale che commuta con il problema Hamiltoniano significa che sono essenzialmente prodotti di operatori , il che significa che i suoi automi sono stringhe di bit classiche. Quindi il groundstate all'inizio ( t = 0) sarà anch'esso classico, non una sovrapposizione di tutte le possibili stringhe di bit.$\sigma^Z$$t$

Inoltre, anche andando oltre i limiti rigorosi di AQC (es. Ricottura quantistica a sistema aperto, QAOA ecc.) Se l'hamiltoniano che guida commuta, allora non può indurre transizioni tra le autovetture del problema hamiltoniano, ma cambia solo la fase delle ampiezze nella funzione d'onda ; e vuoi un driver in grado di indurre spin-flip per esplorare lo spazio di ricerca.

$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Questo è dato e spiegato nell'Eq. 2 di Tanburn et al. (2015) .

• $\epsilon = 0.1$
• $||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

Quindi il teorema adiabatico si applica ancora, ma quando afferma che l'Hamiltoniano deve cambiare "abbastanza lentamente", si scopre che deve cambiare "infinitamente lentamente", il che significa che probabilmente non otterrai mai la risposta usando AQC.