Ci sono risultati da algoritmi quantistici o complessità che portano a progressi sul problema P vs NP?

A prima vista, gli algoritmi quantistici hanno poco a che fare con il calcolo classico e P vs NP in particolare: Risolvere i problemi di NP con i computer quantistici non ci dice nulla sulle relazioni di queste classiche classi di complessità ¹ .

D'altra parte, la "descrizione alternativa" della classe di complessità classica PP come la classe PostBQP presentata in questo documento è, per quanto ne so, considerata come un risultato importante per la "complessità classica", da "complessità quantistica" .

In effetti, Scott Aaronson, l'autore dell'articolo, scrive alla fine dell'abstract:

Ciò dimostra che il calcolo quantistico può produrre prove nuove e più semplici dei principali risultati sul calcolo classico.

Quindi, la mia domanda è: ci sono risultati nel campo della complessità quantistica che "semplificano" il problema P vs NP, simile alla descrizione quantistica di PP? Se non ci sono tali risultati, c'è una buona ragione per non aspettarsi questi risultati, nonostante il "successo" per la PP?

_{1: Prendi la risposta a questa domanda, per esempio: il problema P vs. NP diventerebbe banale come risultato dello sviluppo di computer quantistici universali?}

Non credo che ci siano ragioni chiare per una risposta "sì" o "no". Tuttavia, posso fornire una ragione per cui PP era molto più propenso ad ammettere una tale caratterizzazione rispetto a NP , e dare alcune intuizioni per cui NP non avrebbe mai potuto avere una semplice caratterizzazione in termini di modifica del modello computazionale quantistico.

Conteggio della complessità

Le classi NP e PP possono essere entrambe caratterizzate in termini di numero di rami di accettazione di una macchina di Turing non deterministica, che possiamo descrivere in modo più realistico in termini di possibili esiti di un calcolo randomizzato che utilizza bit uniformemente casuali. Possiamo quindi descrivere queste due classi come:

• L  ∈  NP se esiste un algoritmo randomizzato a tempo polinomiale che emette un singolo bit α  ∈ {0,1}, tale che x  ∈  L se e solo se Pr [  α  = 1 | x  ] è diverso da zero (anche se questa probabilità può essere minima), a differenza di zero.

• L  ∈  PP se esiste un algoritmo randomizzato a tempo polinomiale che emette un singolo bit α  ∈ {0,1}, tale che x  ∈  L se e solo se Pr [  α  = 1 | x  ] è maggiore di 0,5 (sebbene possibilmente solo per la quantità più piccola), invece di essere uguale o inferiore a 0,5 ( ad esempio  una quantità minima).

Un modo per capire perché queste classi non possono essere praticamente risolte usando questa descrizione probabilistica, è che potrebbero essere necessarie in modo esponenziale molte ripetizioni per essere sicuri di una stima di probabilità per Pr [  α  = 1 | x  ] a causa della debolezza delle differenze nelle probabilità coinvolte.

Complessità del gap e complessità quantistica

Descriviamo i risultati '0' e '1' nel calcolo sopra come 'rifiuta' e 'accetta'; e chiamiamo un ramo randomizzato che dà un risultato di rifiuto / accettazione, un ramo di rifiuto o di accettazione . Poiché ogni branca del calcolo randomizzato che non accetta sta quindi rifiutando, la PP può anche essere definita in termini di differenza tra il numero di percorsi computazionali di accettazione e di rifiuto - una quantità che possiamo chiamare gap di accettazione : in particolare, se l'accettazione il gap è positivo, o inferiore o uguale a zero. Con un po 'più di lavoro, possiamo ottenere una caratterizzazione equivalente per PP, in termini di se il divario di accettazione è maggiore di una soglia o minore di una soglia, che può essere zero o qualsiasi altra funzione calcolabile in modo efficiente dell'ingresso x .

Questo a sua volta può essere usato per caratterizzare le lingue in PP in termini di calcolo quantistico. Dalla descrizione di PP in termini di calcoli randomizzati con probabilità di accettazione (possibilmente leggermente) maggiore di 0,5, o al massimo 0,5, tutti i problemi in PP ammettono un algoritmo quantistico a tempo polinomiale che ha la stessa distinzione nelle probabilità di accettazione; e modellando i calcoli quantistici come somma su percorsi computazionali e simulando questi percorsi usando il rifiuto di rami per percorsi di peso negativo e accettando rami di percorsi di peso positivo, possiamo anche dimostrare che un tale algoritmo quantistico che fa una distinzione (statisticamente debole) descrive un problema in PP .

Non è ovvio che possiamo fare la stessa cosa per NP . Non esiste un modo naturale per descrivere NP in termini di lacune di accettazione e l'ovvia ipotesi su come potresti provare ad adattarlo al modello computazionale quantistico, chiedendo se la probabilità di misurare un risultato '1' sia zero o non- zero - invece ti dà una classe chiamata coC ₌ P , che non è nota per uguagliare NP , e molto approssimativamente potrebbe essere descritta come potente quanto PP piuttosto che vicina a NP in potenza.

Certo, un giorno si potrebbe in qualche modo trovare una caratterizzazione di NP in termini di lacune di accettazione, oppure si potrebbero trovare nuovi modi di mettere in relazione il calcolo quantistico con il conteggio della complessità, ma non sono sicuro che qualcuno abbia idee convincenti su come ciò potrebbe accadere.

Sommario

Le prospettive di ottenere approfondimenti sul problema P contro NP stesso, tramite il calcolo quantistico, non sono promettenti, sebbene non sia impossibile.