Perché le porte quantistiche sono unitarie e non speciali unitarie?

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Dato che le fasi globali degli stati non possono essere discernite fisicamente, perché i circuiti quantistici sono formulati in termini di unità e non unità speciali? Una risposta che ho ricevuto è che è solo per comodità, ma non sono ancora sicuro.

Una domanda correlata è questa: ci sono differenze nell'implementazione fisica di una unitaria (matrice matematica) e , diciamo in termini di porte elementari? Supponiamo che non ci sia (che è la mia comprensione). Quindi l'implementazione fisica di e dovrebbe essere la stessa (basta aggiungere i controlli alle porte elementari). Ma poi entro nella contraddizione che e $U$ $V: =e^{i\alpha}U$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ di questi due unitari potrebbe non essere equivalente a fase (come matrici matematiche), quindi sembra plausibile che corrispondano a differenti implementazioni fisiche.

Cosa ho fatto di sbagliato nel mio ragionamento qui, perché suggerisce ora che e devono essere implementati in modo diverso anche se sono equivalenti fino alla fase? $U$ $V$

Un'altra domanda relativa (in realtà l'origine della mia confusione, sarei più grati per una risposta a questo): sembra che si può usare un circuito quantistica per stimare sia il modulo e la fase del complesso sovrapposizione (vedi https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Ma questo non implica ancora una volta che ed sono misurabili in modo diverso? $\langle\psi|U|\psi\rangle$ $U$ $e^{i\alpha}U$

quantum-gate unitarity

— DCW
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È più filosoficamente accurato dire invece il gruppo unitario proiettivo

Questo perché l'operazione consiste nel prendere una matrice unitaria arbitraria e perdere la fase rispetto al sottoinsieme per il quale quella fase è

. Le mappe vanno

modo che siano sui lati opposti delle frecce.

P U

$PU$

1

$1$

S U \to U \to P U

$SU \to U \to PU$

— AHusain,

@AHusain Quali sono le "mappe"? In termini di quotienting fuori, andrà

.

U \to S U \to P U

$U\to SU\to PU$

— Norbert Schuch,

No. SU è il sottoinsieme con il determinante 1, quindi include con una mappa in U. PU è il quoziente di valutazione. Puoi prendere un unitario proiettivo e dare un rappresentante in SU con il determinante 1, ma ciò non è automatico.

— AHusain,

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Anche se ti limiti alle operazioni unitarie speciali, gli stati accumuleranno comunque fase globale. Ad esempio, è speciale-unitario ma . $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ $Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Se gli stati accumuleranno comunque una fase globale non osservabile , quali vantaggi trarremo dal limitarci a speciali operazioni unitarie?

ci sono differenze nell'implementazione fisica di una unitaria (matrice matematica) e , diciamo in termini di porte elementari? $U$ $V :=e^{i\alpha}U$

Finché non stai facendo nulla che possa rendere rilevanti le fasi globali, possono avere la stessa implementazione. Ma se hai intenzione di fare qualcosa del genere, uh-

aggiungere controlli alle porte elementari

Sì, così. Se fai cose del genere, non puoi ignorare le fasi globali. I controlli trasformano le fasi globali in fasi relative. Se si desidera ignorare completamente la fase globale, non è possibile avere un modificatore di operazione "aggiungi un controllo" in una casella nera.

— Craig Gidney
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U

$U$

V

$V$

X

$X$

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@Daochen Sì, puoi farlo, ma non è un esempio di aggiunta di un controllo mentre ignori la fase globale della sub-operazione. Dovrai decidere esplicitamente la fase globale della sub-operazione al momento di decidere esattamente cosa dovrebbe fare l'operazione globale controllata e come decomporla.

— Craig Gidney,

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Il fatto che le porte quantistiche siano unitarie è radicato nel fatto che l'evoluzione dei sistemi quantistici (chiusi) è dovuta all'equazione di Schrödiner. Per un intervallo di tempo in cui stiamo cercando di realizzare una particolare trasformazione unitaria a un ritmo costante, usiamo l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:

\frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = \frac{1}{i ℏ} H | ψ (t) ⟩,

$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$

$H$ $H$

| ψ (t) ⟩ = \exp (- i H t / ℏ) | ψ (0) ⟩

$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$

U = \exp (- i H t / ℏ)

$U = \exp(-iHt/\hbar)$

H

$H$

E

$E$

e^{i E t / ℏ}

$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$ . Quindi, da una matrice con autovalori reali, otteniamo una matrice i cui autovalori sono numeri complessi con norma unitaria.

$1$ $1$ $H$ $H$ la somma dei suoi autovalori è uguale a zero dipende da come hai deciso di fissare qual è il tuo punto di energia zero - che è in effetti una scelta soggettiva del quadro di riferimento. (In particolare, se decidi di adottare la convenzione che tutti i tuoi livelli di energia sono non negativi, questo implica che nessun sistema interessante avrà mai la proprietà degli autovalori energetici che si sommano a zero.)

In breve, le porte sono unitarie piuttosto che speciali unitarie, perché il determinante di una porta non corrisponde a proprietà fisicamente significative - nel senso esplicito che la porta deriva dalla fisica e le condizioni che corrispondono alla determinante della porta sono 1 è una condizione del proprio quadro di riferimento e non delle dinamiche fisiche.

— Niel de Beaudrap
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Durante la scrittura cancelli per, ad esempio, uno schema circuitale quantistica, si potrebbe sempre scriverli utilizzando la convenzione di avere un determinante (dal gruppo unitario speciale), ma è solo una convenzione. Non fa alcuna differenza fisica per il circuito che si implementa. Come detto altrove , se ciò che produci naturalmente corrisponda direttamente allo speciale unitario è davvero una scelta di convenzione e dove definisci la tua energia 0 da essere.

$U$ $V=e^{i\alpha}$ $V$ $U$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

— DaftWullie
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$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$ $H$

— user1271772
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