Quali numeri interi sono stati presi in considerazione con l'algoritmo di Shor?

Ci si aspetta che l'algoritmo di Shor ci consenta di fattorizzare numeri molto più grandi di quanto si possa fare sui moderni computer classici.

Allo stato attuale, sono stati presi in considerazione solo numeri più piccoli. Ad esempio, questo articolo discute la fattorizzazione di . $15=5{\times}3$

Qual è in questo senso lo stato dell'arte della ricerca? Esiste un documento recente in cui si afferma che sono stati fatturati numeri più grandi?

shors-algorithm

— Ballerino sdraiato
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Strettamente correlato, ma non un duplicato esatto: qual è il numero più alto fattorizzato dal controllo qualità in un esperimento non specifico?

— agaitaarino,

La scomposizione in fattori primi di 21 (7x3) sembra essere il più grande fatto finora con l'algoritmo di Shor; è stato fatto nel 2012 come dettagliato in questo documento . Va notato, tuttavia, che numeri molto più grandi, come 56.153 nel 2014, sono stati fattorizzati utilizzando un algoritmo di minimizzazione, come dettagliato qui . Per un comodo riferimento, vedere la Tabella 5 di questo documento :

{\begin{matrix} Table 5: Quantum factorization records \\ \begin{array}{cccccc} Number & # of factors & \begin{matrix} # of qubits \\ needed \end{matrix} & Algorithm & \begin{matrix} Year \\ implemented \end{matrix} & \begin{matrix} Implemented \\ without prior \\ knowledge of \\ solution \end{matrix} \\ 15 & 2 & 8 & Shor & 2001 [2] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2009 [5] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2012 [6] & χ \\ 21 & 2 & 10 & Shor & 2012 [7] & χ \\ 143 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 56153 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 291311 & 2 & 6 & minimization & not yet & ✓ \\ 175 & 3 & 3 & minimization & not yet & ✓ \end{array} \end{matrix}}_{.}

$\begin{array}{c} \textbf{Table 5:}~\text{Quantum factorization records} \\ \hline \small{ \begin{array}{cccccc} \text{Number} & \text{# of factors} & \begin{array}{c}\text{# of qubits} \\ \text{needed} \end{array} & \text{Algorithm} & \begin{array}{c}\text{Year} \\ \text{implemented} \end{array} & \begin{array}{c}\text{Implemented} \\ \text{without prior} \\ \text{knowledge of} \\ \text{solution} \end{array} \\ \hline 15 & 2 & 8 & \text{Shor} & 2001~\left[2\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2009~\left[5\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2012~\left[6\right] & \chi \\ 21 & 2 & 10 & \text{Shor} & 2012~\left[7\right] & \chi \\ 143 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ 56153 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ \hline 291311 & 2 & 6 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \\ 175 & 3 & 3 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \end{array}} \end{array}_{\Large{.}}$

— erica
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@SqueamishOssifrage: dove dice che l'algoritmo di minimizzazione è "limitato ai numeri i cui fattori hanno relazioni conosciute che rendono lo spazio di ricerca molto più piccolo, come differire solo in alcune posizioni bit o differire in tutte tranne alcune posizioni"?

— user1271772

@ user1271772 A quanto ho capito, la tecnica si basa sulla riduzione del problema per richiedere solo un numero trattabile di qubit eliminando le variabili mediante relazioni note tra i bit dei fattori. Sebbene il numero di qubit al fattore possa scalare solo con , nessuno dei documenti che ho letto sembrava fare alcun tentativo di stimare la crescita del tempo di soluzione in funzione del numero di qubit o di .

N

$N$

O (\log^{2} N)

$O(\log^2 N)$

\log N

$\log N$

— Squeamish Ossifrage,

@SqueamishOssifrage: "eliminando le variabili da relazioni note tra i bit dei fattori" Concorderesti che l'Eq. 1 di arxiv.org/pdf/1411.6758.pdf implica che z12 = 0, senza alcuna relazione "nota" tra i bit? Concorderesti di poter dedurre che z12 = 0 per arbitrario p1, p2, q1, q2? Successivo: Il numero di variabili (qubit) nel metodo tabella è non . Il problema può essere risolto su una ricottura con qubit se sono consentite interazioni arbitrarie a 4 qubit. Se solo le interazioni 2-qubit sono ammessi, è necessario .

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

— user1271772

@SqueamishOssifrage: "nessuno dei documenti che ho letto sembrava fare alcun tentativo di stimare la crescita del tempo di soluzione in funzione del numero di qubit". Questo ha fatto un tentativo: journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.101.220405 Ma "il tempo per la soluzione" non è ciò che è importante, è lo sforzo richiesto. Il setacciamento GNF è facile ma il passo della matrice è orribilmente ingombrante. L'esecuzione dell'algoritmo di Shor in un modo ragionevolmente ottimale è macchinosa. L'algoritmo di minimizzazione è semplice.

— user1271772

@SqueamishOssifrage: Infine: "Nota che l'algoritmo di minimizzazione è limitato ai numeri i cui fattori hanno relazioni conosciute" .. nessuna parte dell'algoritmo è limitata alle relazioni "conosciute". L'algoritmo non assume nulla riguardo ai fattori. Nessuna relazione. I bit sono tutte variabili sconosciute determinate dalla minimizzazione. La minimizzazione può essere fatta con meno qubit per alcuni numeri rispetto ad altri. Lo stesso vale per l'algoritmo di Shor. Lo stesso vale per GNFS. In effetti, se il numero che vuoi fattorizzare è pari, è piuttosto facile fattorizzarlo.

— user1271772

$21=7\times 3$ $a$

Per l'algoritmo di ricottura : lo stato dell'arte è 376289 . Ma non sappiamo come questo ridimensionerà. Un limite superiore molto grezzo al numero di qubit necessari per il fattore RSA-230 è di 5,5 miliardi di qubit (ma questo può essere abbattuto significativamente da migliori compilatori), mentre l'algoritmo di Shor può farlo con 381 qubit .

— user1271772
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Noterai nella tabella nella mia risposta che c'è una colonna per "implementato senza una conoscenza preliminare della soluzione" c'è una "x" per tutte le implementazioni dell'algoritmo shor, che mi porta a credere che qualcosa di simile sia vero per il factoring 15.

— heather

La dimensione del numero considerato non è una buona misura per la complessità del problema di fattorizzazione e, di conseguenza, la potenza di un algoritmo quantistico. La misura pertinente dovrebbe piuttosto essere la periodicità della funzione risultante che appare nell'algoritmo.

Questo è discusso in J. Smolin, G. Smith, A. Vargo: fingendo di fattorizzare grandi numeri su un computer quantistico , Nature 499, 163-165 (2013) . In particolare, gli autori forniscono anche un esempio di un numero con 20000 cifre binarie che possono essere fattorizzate con un computer quantistico a due qubit, con esattamente la stessa implementazione che era stata utilizzata in precedenza per fattorizzare altri numeri.

Va notato che le "semplificazioni manuali" che gli autori eseguono per arrivare a questo algoritmo quantistico sono qualcosa che è stato fatto anche per esempio per il factoring dell'esperimento originale 15.

— Norbert Schuch
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