L'entanglement è transitivo?

L'entanglement è transitivo , in senso matematico?

Più concretamente, la mia domanda è questa:

Considera 3 qubit $q_1, q_2$ e $q_3$ . Supponiamo che

$q_1$ e $q_2$ sono intrecciati, e quello
$q_2$ e $q_3$ sono intrecciati

Poi, sono $q_1$ e $q_3$ impigliato ? Se è così, perché? In caso contrario, esiste un controesempio concreto?

Sulla mia nozione di entanglement:

i qubit $q_1$ e $q_2$ sono intrecciati, se dopo aver rintracciato $q_3$ , i qbit $q_1$ e $q_2$ sono intrecciati (rintracciare $q_3$ corrisponde a misurare $q_3$ e scartare il risultato).
i qubit $q_2$ e $q_3$ sono intrecciati, se dopo aver tracciato $q_1$ , i qbit $q_2$ e $q_3$ sono intrecciati.
i qubit e sono intrecciati, se dopo aver tracciato , i qbit e sono intrecciati. $q_1$ $q_3$ $q_2$ $q_1$ $q_3$

Sentiti libero di usare qualsiasi altra nozione ragionevole di entanglement (non necessariamente quella sopra), purché dichiari chiaramente tale nozione.

entanglement

— Peter
fonte

Puoi confermare l'ultima affermazione? Dopo la tua domanda, mi aspettavo una dichiarazione simile ma con le etichette in un ordine diverso (una dichiarazione sull'entanglement di q1 e q3 dopo aver misurato q2).

— agaitaarino,

@agaitaarino ho aggiornato la parte su "entanglement", ora dovrebbe essere più chiaro ...

— Peter,

Ho considerato i quadrati latini come una matrice di probabilità in cui gli elementi di una matrice unidimensionale sono "intrecciati", in quanto le probabilità per ogni dato elemento espresso sono interdipendenti. Quando si aggiungono dimensioni, tali array monodimensionali si intersecano ortogonalmente con altri array monodimensionali, estendendo l '"intreccio". (La mia ipotesi è che questo sia quanto più lontano possibile tra le erbacce: nozioni atipiche entanglement, ma non sono la prima persona a sollevare l'idea di alcune "somiglianze nello spirito" tra QT e le piazze latine / Sudoku.) Grazie tu per questa domanda!

— DukeZhou,

Ora che hai chiarito che stai scartando il risultato della misurazione, questa non è l'entanglement localizzabile di cui pensavo stessi parlando, è la nozione più standard .. È meglio parlare di "rintracciare" il qubit extra invece di misurare e scartando il risultato.

— DaftWullie,

@DaftWullie Grazie! Ho aggiornato la domanda di conseguenza

— Peter,

Risposte:

TL; DR: dipende da come si sceglie di misurare l'entanglement su una coppia di qubit. Se rintracci i qubit extra, quindi "No". Se si misurano i qubit (con la libertà di scegliere la base di misurazione ottimale), quindi "Sì".

Let essere uno stato quantistico puro 3 qubit, etichettati A, B e C. Diremo che A e B sono smarriti se non è positiva sotto l'azione della mappa di trasposizione parziale. Questa è una condizione necessaria e sufficiente per rilevare l'entanglement in un sistema a due qubit. Il formalismo parziale della traccia equivale a misurare il qubit C in modo arbitrario e scartare il risultato. $|\Psi\rangle$ $\rho_{AB}=\text{Tr}_C(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

C'è una classe di contro-esempi che mostrano che l'entanglement non è transitivo , della forma a condizione. Se rintracci qubito qubit, otterrai la stessa matrice di densità entrambe le volte:

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 1 φ φ ⟩),

$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|1\phi\phi\rangle),$

| ϕ ⟩ \neq | 0 ⟩, | 1 ⟩

$|\phi\rangle\neq |0\rangle,|1\rangle$

B

$B$

C

$C$

si può prendere la trasposizione parziale di questo (prenderlo sul primo sistema è il più pulito):

ρ_{UN C} = ρ_{UN B} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 φ ⟩ ⟨ 1 φ | + | 00 ⟩ ⟨ 1 φ | ⟨ φ | 0 ⟩ + | 1 φ ⟩ ⟨ 00 | ⟨ 0 | φ ⟩)

$\rho_{AC}=\rho_{AB}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|00\rangle\langle 1\phi|\langle\phi|0\rangle+|1\phi\rangle\langle 00|\langle0|\phi\rangle\right)$

Ora prendete il determinante (che è uguale al prodotto degli autovalori). Ottieni

ρ^{P T} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 φ ⟩ ⟨ 1 φ | + | 10 ⟩ ⟨ 0 φ | ⟨ φ | 0 ⟩ + | 0 φ ⟩ ⟨ 10 | ⟨ 0 | φ ⟩)

$\rho^{PT}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|10\rangle\langle 0\phi|\langle\phi|0\rangle+|0\phi\rangle\langle 10|\langle0|\phi\rangle\right)$

che è negativo, quindi ci deve essere un autovalore negativo. Pertanto,

sono coppie intrecciate. Nel frattempo

det (ρ^{P T}) = - \frac{1}{16} | ⟨ 0 | φ ⟩ |^{2} (1 - | ⟨ 0 | φ ⟩ |^{2})^{2},

$\text{det}(\rho^{PT})=-\frac{1}{16}|\langle 0|\phi\rangle|^2(1-|\langle 0|\phi\rangle|^2)^2,$

(A B)

$(AB)$

(A C)

$(AC)$

Poiché questa è una matrice di densità valida, non è negativa. Tuttavia, il recepimento parziale è uguale a se stesso. Quindi, non ci sono autovalori negativi e

non è impigliato.

ρ_{B C} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | φ φ ⟩ ⟨ φ φ |) .

$\rho_{BC}=\frac12(|00\rangle\langle 00|+|\phi\phi\rangle\langle\phi\phi |).$

(B C)

$(BC)$

Entanglement localizzabile

Si potrebbe invece parlare dell'entanglement localizzabile . Prima di ulteriori chiarimenti, questo è ciò a cui pensavo si riferisse l'OP. In questo caso, invece di tracciare un qubit, è possibile misurarlo in base alla propria scelta e calcolare i risultati separatamente per ogni risultato di misurazione. (In seguito c'è qualche processo di calcolo della media, ma questo per noi sarà irrilevante qui.) In questo caso, la mia risposta riguarda specificamente stati puri, non stati misti.

La chiave qui è che ci sono diverse classi di stato impigliato. Per 3 qubit, ci sono 6 diversi tipi di stato puro:

uno stato completamente separabile
3 tipi in cui esiste uno stato impigliato tra due parti e uno stato separabile sul terzo
uno stato W.
uno stato GHZ

$(q_1,q_2)$ $(q_2,q_3)$

| W ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩) | sol H Z ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 111 ⟩)

$|W\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}(|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)\qquad |GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$

— DaftWullie
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Grazie, questo chiarisce già parecchio. Potresti indicarmi la misura "standard" di entanglement? Potrei volerlo usare esplicitamente nella mia domanda.

— Peter,

@Peter: vedi se la versione modificata aiuta ancora di più.

— DaftWullie,

Grazie per questa risposta! Posso fare una domanda ingenua sui mezzi di simmetria in questo contesto "Entrambi i rappresentanti sono simmetrici nello scambio di particelle". (Sono molto interessato a diversi concetti di simmetria in generale.)

— DukeZhou,

@DaftWullie: dato che la tua risposta sembra essere "no, l'entanglement non è transitivo, anche su sistemi a tre qubit", forse dovresti condensare la tua risposta per renderla un po 'più ovvia?

— Niel de Beaudrap,

{SWAP}_{A, B} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩

$\text{SWAP}_{A,B}|\Psi\rangle=|\Psi\rangle$

Questa non è una risposta, ma solo alcuni fatti di base che è importante conoscere al fine di evitare territori "nemmeno sbagliati" su questi tipi di domande.

"Entanglement" non è tutto o niente. Basta dire "q1 è impigliato con q2 e q2 è impigliato con q3" non è abbastanza informazioni per determinare la risposta a domande come "se misuro q3, q1 sarà ancora impigliato con q2?". L'entanglement diventa complicato quando si ha a che fare con sistemi più grandi. Devi davvero conoscere lo stato specifico, la misurazione e se ti è permesso condizionare sul risultato della misurazione.

Può accadere che q1, q2, q3 siano intrecciati come un gruppo, ma se si traccia uno qualsiasi dei qubit, la matrice di densità dei restanti due descrive un semplice stato correlato classicamente. (Ad esempio, ciò accade con gli stati GHZ.)

Dovresti essere consapevole della monogamia dell'entanglement . Passata una certa soglia, aumentando la forza dell'entanglement tra q1 e q2 bisogna diminuire l'intensità dell'entanglement tra q1 e q3 (e equivalentemente q2 e q3).

— Craig Gidney
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yay per aver sottolineato la monogamia dell'entanglement!

— agaitaarino,

@agaitaarino che porta a "entanglement schiacciato" ed entropia di Von Neumann!

— DukeZhou,

Ho letto quanto segue nella tripla classicizzazione di Freudenthal di entanglement a tre qubit :

"Dür et al. ( Tre qubit possono essere intrecciati in due modi ineguali ) hanno usato semplici argomenti riguardanti la conservazione di ranghi di matrici a densità ridotta, ci sono solo sei classi di equivalenza a tre qubit:

Null (La banale orbita di entanglement zero corrispondente agli stati di fuga)
Separabile (un'altra orbita di entanglement zero per stati di prodotto completamente fatturabili)
Biseparabile (tre classi di entanglement bipartito: A-BC, B-AC, C-AB)
W (Stati intrecciati a tre vie che non violano al massimo le disuguaglianze di tipo Bell) e
GHZ (violare al massimo le disparità di tipo Bell) "

che a quanto ho capito la risposta alla tua domanda è sì : se A e B sono intrecciati e B e C sono intrecciati, sei necessariamente in uno degli stati a tre vie intrecciati, quindi anche A e C sono intrecciati.

— agaitaarino
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