Prova di una disuguaglianza di informazioni di Holevo

Supponiamo che io abbia un canale classico-classico-quantistico $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , dove $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ sono insiemi finiti e $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ è l'insieme di matrici di densità su spazio Hilbert $\mathcal{H}$ complesso e dimensionale finito .

Supponiamo $p_x$ è la distribuzione uniforme su $\mathcal{X}$ e $p_y$ è la distribuzione uniforme su $\mathcal{Y}$ . Inoltre, definire per le distribuzioni $p_1$ su $\mathcal{X}$ e $p_2$ su $\mathcal{Y}$ , le informazioni di Holevo

$$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$$

dove $H$ è l'entropia di von Neumann.

Vorrei mostrare, per

$$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$$ che, $$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$$

Finora, non sono ancora convinto che l'affermazione sia vera in primo luogo. Non ho fatto molti progressi nel dimostrarlo, ma sembra che una sorta di disuguaglianza del triangolo possa verificare l'affermazione.

Grazie per eventuali suggerimenti su se la dichiarazione dovrebbe contenere e suggerimenti su come dimostrarlo.

$X = Y = \{0,1\}$$\mathcal{H}$$W$

$$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$$ $p_y$$p_1$$p_1(0) = 1$$p_1(1) = 0$$\chi(p_1,p_y,W) = 1$$p_1$ e $p_2$ come l'argmax di quelle espressioni, non il supremum.) Allo stesso modo, se $p_x$ è uniforme, $p_2(0) = 1$ e $p_2(1) = 0$è ottimale e il valore è lo stesso. Però,$\chi(p_1,p_2,W) = 0$, quindi la disuguaglianza non regge.