Come consentire (rimpasto) un input n-bit?

Sono interessato a un algoritmo quantistico che ottiene come input una sequenza n-bit e che produce come output una versione rimescolata (permutata) di questa sequenza n-bit.

Ad esempio, se l'input è 0,0,1,1 (quindi n = 4 in questo caso), le possibili risposte sono:

0,0,1,1
0,1,0,1
0,1,1,0
1,0,0,1
1,0,1,0
1,1,0,0

Si noti che deve essere generato un solo output che viene scelto casualmente tra tutti i possibili output validi.

Come può essere meglio implementato in un algoritmo quantistico ?

Una soluzione per questo è già stata proposta come parte di una delle risposte per Come creare un algoritmo quantistico che produce sequenze a 2 n bit con uguale numero di 1 bit? . Ma il problema con questa soluzione è che ciò richiede circa qubit di aiuto che diventano rapidamente enormi se n è grande. $\binom{n}2$

Nota:

Per favore, non fornire un algoritmo classico senza alcuna spiegazione di come i passi dell'algoritmo classico possano essere mappati su un computer quantistico universale.
per me ci sono 2 buoni modi di interpretare "scelti casualmente tra tutti i possibili buoni risultati" : (1) ogni possibile buon risultato ha pari possibilità di essere scelto. (2) ogni possibile buona uscita ha una probabilità> 0 di essere scelta.

algorithm

— JanVdA
fonte

L'input è una stringa binaria di lunghezza dove dei bit sono 1 e l'output è una delle possibili permutazioni di ? Questo può essere fatto su un computer classico con 1 passaggio. Vuoi alll possibili uscite?

n

$n$

k

$k$

(\binom{n}{k}) - 1

$\binom{n}{k}-1$

— user1271772,

No, deve essere generato un solo output che viene scelto casualmente tra tutti gli output possibili.

— JanVdA,

Un algoritmo classico sarebbe abbastanza buono? (Potresti ancora eseguirlo su un computer quantistico.) O hai bisogno di sth. quale supera il migliore algoritmo classico?

— Norbert Schuch,

@JanVdA: Perché non scegliere solo 1 e 0 e scambiare i due su un computer classico?

— user1271772

Dato che non hai specificato la distribuzione casuale che desideri, le lascerò qui: Dilbert e XKCD ;)

— Ali

Risposte:

Potrebbe essere fatto con qubit aggiuntivi lungo queste linee: $\lceil\log n\rceil$

Trasforma i qubit aggiuntivi in modo che codifichino un numero scelto uniformemente a caso. $k\in\{0,\ldots,n-1\}$

Spostare ciclicamente i qubit di input volte. $k$

Lascia che l'ultimo qubit di input originale sia corretto come output e si ricorra sul restante di essi. $n-1$

Questo è un algoritmo classico, ma ovviamente puoi eseguirlo su un computer quantistico, come ha suggerito Norbert in un commento. (L'aspetto della domanda irremovibile sul fatto che l'algoritmo sia quantico non mi è ancora chiaro, quindi se l'esecuzione di un algoritmo classico come quello che ho suggerito su un computer quantistico non è sufficiente, sarebbe utile che la domanda essere chiarito.)

Si noti che poiché la domanda richiede un output casuale, l'algoritmo dovrà generare entropia a un certo punto, presumibilmente attraverso misurazioni o eseguendo altre operazioni non unitarie su qubit (come inizializzarli). Nell'algoritmo sopra, è il primo passo che genera entropia: indipendentemente dallo stato dei qubit aggiuntivi prima che venga eseguita l'operazione nel passaggio 1, dovrebbero avere lo stato dopo aver eseguito il passaggio 1 (con codificato in binario, diciamo).

\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} | k ⟩ ⟨ k |

$\frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n-1} \lvert k \rangle \langle k \rvert$

k

$k$

— John Watrous
fonte

Grazie per la risposta. Sono interessato a un vero algoritmo quantistico per il problema: se potessi mappare l'algoritmo classico sopra un programma quantico, allora anche questo va bene, ma non ho idea di come farlo.

— JanVdA,

Penso che la domanda si stia focalizzando: non stai davvero cercando un algoritmo, stai cercando un codice. Quello che ho descritto è un algoritmo e il compito che rimane è implementare quell'algoritmo (o uno diverso) come codice in un linguaggio o come descrizione di basso livello di un circuito quantico. Ti suggerisco di rivedere la domanda per renderlo più chiaro, ma tieni presente che stai chiedendo a qualcuno di fare un lavoro noioso e concettualmente poco interessante per te. L'alternativa di imparare a farlo da soli può sembrare scoraggiante, ma potrebbe essere la soluzione migliore a lungo termine.

— John Watrous,

Ho aggiunto una nota alla domanda. Penso che abbiamo interpretato l' algoritmo quantistico del concetto in modo diverso. Per me un_algoritmo classico_ non è un algoritmo quantico ma potrebbe essere mappato in un algoritmo quantistico .

— JanVdA

@JanVdA: Cosa intendi con algoritmo quantistico? Ad esempio, hai bisogno che coinvolga almeno un cancello

? O che richiede almeno un cancello

? O che richiede qualche altro set di gate specifico? Quale gate set desideri utilizzare per questo algoritmo?

H

$H$

Y

$Y$

— user1271772

Un algoritmo quantistico è un algoritmo che può essere mappato (a livello di step) su un programma per un computer quantistico universale. L'input e l'output dei passi dell'algoritmo quantistico sono qubit (o potrebbero essere mappati su una serie di qubit). L'ultimo passo dell'algoritmo quantistico = leggere (osservare) i valori dei qubit (quindi i qubit diventano mappati su bit effettivi) Non ci sono restrizioni sul gate set. L'idea è che l'algoritmo completo può essere eseguito su un computer quantistico universale.

— JanVdA,

Nota: questa risposta presuppone che la permutazione sia coerente , ovvero che si desidera al posto di un terzo caso di, un terzo possibilità di, e un 1/3 probabilità di. $\frac{1}{\sqrt{3}} ( |001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$ $001$ $010$ $100$

Fai attenzione a come specifichi questa attività, perché potrebbe essere facilmente impossibile a causa di vincoli di reversibilità. Ad esempio, per l'input si desidera emettere lo stato GHZ $|001\rangle$ . Ma se si desidera anche generare lo stato GHZ per l'ingressoe, che non funziona. Non è possibile inviare più stati di input allo stesso stato di output (senza decoerenza). Finché dici "Mi preoccupo solo di input in ordine crescente come 0000111 ma non 1110000 o 0010110; puoi fare quello che vuoi con quelli", andrà bene. $\left| {3 \atop 1} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$ $|010\rangle$ $|100\rangle$

Un trucco per produrre una permutazione quantistica di un input ordinato è preparare innanzitutto uno "stato di permutazione" applicando una rete di ordinamento a un elenco di valori seme ciascuno in una sovrapposizione uniforme. La rete di smistamento genererà qubit che contengono i semi ordinati, ma anche qubit che trattengono i confronti della rete di smistamento. Lo stato di permutazione è solo i qubit di confronto. Per applicarlo al tuo input, esegui semplicemente l'input attraverso la rete di ordinamento al contrario. Nota che ci sono alcuni dettagli difficili qui; vedere il documento " Tecniche migliorate per la preparazione di automi di Hamiltoniani fermionici ". Dovresti generalizzare questa tecnica per lavorare su input con valori ripetuti, anziché solo valori univoci.

$\left| {n \atop k} \right\rangle$ $n$ $k$

$|0001\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{4}}$ $\left| {4 \atop 1} \right\rangle$ $|0011\rangle$ $\left| {4 \atop 2} \right\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{6}}$

— Craig Gidney
fonte

\frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩)

$\frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$

| 001 ⟩

$|001\rangle$

\frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ - | 010 ⟩ + i . | 100 ⟩)

$\frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle - |010\rangle + i. |100\rangle)$

@JanVdA Corretto, si possono usare le fasi per rendere ortogonali le varie uscite. La mia lettura della tua domanda era che volevi la stessa fase in tutti i casi.

— Craig Gidney,

Un computer quantistico può eseguire calcoli classici. L'algoritmo ottimale sarebbe:

Scegli qualsiasi bit (il più veloce a cui puoi accedere).
Trova un bit con valore opposto (se nel passaggio 1 hai ottenuto uno 0, trova un 1)
Passali (0 diventa 1 e 1 diventa 0).

$N$ $\mathcal{O}(N)$ $n^{\textrm{th}}$ $\mathcal{O}\left(\sqrt{N}\right)$

— user1271772
fonte

Grazie ma l'algoritmo cambierebbe solo 2 bit (quindi non genererà tutte le permutazioni) ed è ancora un algoritmo classico, mentre mi piacerebbe vedere un algoritmo quantistico.

— JanVdA,