Jones Polynomial

12

Esistono molti algoritmi quantistici abbastanza standard che possono essere compresi in un framework molto simile, dall'algoritmo di Deutsch al problema di Simon, dalla ricerca di Grover, dall'algoritmo di Shor e così via.

Un algoritmo che sembra completamente diverso è l'algoritmo per la valutazione del polinomio di Jones . Inoltre, sembra che questo sia un algoritmo cruciale per capire, nel senso che è un problema completo di BQP : mostra tutta la potenza di un computer quantistico. Inoltre, per una variante del problema, è DQC-1 completo , cioè mostra tutta la potenza di un qubit pulito .

Il documento sull'algoritmo Polinomiale Jones presenta l'algoritmo in un modo molto diverso dagli altri algoritmi quantistici. Esiste un modo più simile / familiare in cui posso capire l'algoritmo (in particolare, l'unità nella variante DQC-1 o solo l'intero circuito nella variante completa BQP)? $U$

algorithm circuit-construction bqp

— DaftWullie
fonte

5

Questa risposta è più o meno un riassunto del documento di Aharonov-Jones-Landau a cui ti sei collegato, ma con tutto ciò che non è direttamente correlato alla definizione dell'algoritmo rimosso. Speriamo sia utile.

L'algoritmo di Aharonov-Jones-Landau approssima il polinomio di Jones della chiusura plat di una treccia ad una radice di unità realizzandolo come (alcuni riscalando) un elemento matrice di una certa matrice unitaria , l'immagine di sotto una certa rappresentazione unitaria del gruppo treccia . Data un'implementazione di come circuito quantico, approssimare i suoi elementi di matrice è semplice usando il test Hadamard . La parte non banale sta approssimando come un circuito quantico. $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

Se è una treccia su fili con incroci, possiamo scrivere , dove , $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ , e è il generatore di che corrisponde all'incrocio filamento sopra la st. È sufficiente descrivere , poiché . $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

Per definire , per prima cosa diamo un certo sottoinsieme della base standard di su cui agisce in modo non banale. Per , lasciate . Chiamiamo $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ ammissibile se per tutti . (Ciò corrisponde a descrive un percorso di lunghezza sul grafico definito nel documento AJL). Sia $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$ Sia(questo è errato nel documento AJL; si noti inoltre che qui e solo qui,

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

non è l'indice

). Scrivi

, dove

è la prima

bit di

, e lasciate

. Quindi

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

Definiamo

per gli elementi di base non ammissibili

.

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

$U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

Quindi, per ricapitolare:

$\sigma \in B_{2n}$ $m$
$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
$i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
$U_{\sigma}$
$\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
$\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— Evan Jenkins
fonte

2

Hai menzionato cinque articoli nella domanda, ma uno che non viene menzionato è l' implementazione sperimentale nel 2009 . Qui troverai il circuito reale utilizzato per valutare un polinomio di Jones:

Questo potrebbe essere il più vicino a una presentazione "più familiare" dell'algoritmo, poiché l'interesse per il polinomio di Jones e per DQC-1 è decaduto un po 'dal 2009.

Maggiori dettagli su questo esperimento sono disponibili nella tesi di Gina Passante .

— user1271772
fonte

1

U_{n}

$U_n$

Prego. Sì, questo era un PRL di 4 pagine con dettagli non spiegati in modo esauriente come vorrei - forse c'è un "Materiale supplementare" sulla pagina web del diario che spiega meglio l'U. Il polinomio Jones e il DQC-1 erano popolari tra il 2008 e il 2009, ma da allora ho smesso di sentirlo.

— user1271772