Qual è la motivazione dietro le matrici di densità? E qual è la differenza tra le matrici di densità degli stati puri e le matrici di densità degli stati misti?

^{Questo è un sequel a risposta automatica di Qual è la differenza tra uno stato quantico puro e misto? & Come trovare una matrice di densità di un qubit? Puoi scrivere risposte alternative.}

quantum-state density-matrix

— Sanchayan Dutta
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Motivazione

La motivazione dietro le matrici di densità è quella di rappresentare una mancanza di conoscenza dello stato di un dato sistema quantistico, incapsulando in una singola descrizione di questo sistema tutti i possibili risultati dei risultati di misurazione, dato ciò che sappiamo del sistema. La rappresentazione della matrice di densità ha l'ulteriore vantaggio di sbarazzarsi di qualsiasi problema associato alle fasi globali perché La mancanza di conoscenza potrebbe sorgere in vari modi:

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{i φ} | ϕ ⟩) (e^{- i φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$

Una mancanza soggettiva di conoscenza - un arbitro prepara per te uno di un insieme di stati con probabilità , ma non so quale. Anche se sanno quale hanno preparato, dal momento che non, è necessario descriverlo basa su ciò che si sa della possibile insieme di stati e le loro probabilità corrispondenti, . $\{|\phi_i\rangle\}$ $p_i$ $|\phi_j\rangle$ $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$
Una mancanza oggettiva di conoscenza - se il sistema quantistico fa parte di uno stato impigliato più ampio, è impossibile descrivere il sistema come uno stato puro, ma tutti i possibili risultati delle misurazioni sono descritti dalla matrice di densità ottenuta da . $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

È interessante, tuttavia, che l'obiettiva mancanza di conoscenza possa diventare soggettiva: una seconda parte può eseguire operazioni sul resto dello stato impigliato. Riescono a conoscere i risultati delle misurazioni ecc. Ma se non li trasmettono, la persona che detiene il sistema quantistico originale non ha nuove conoscenze e quindi descrive il proprio sistema usando la stessa matrice di densità di prima, ma ora è una descrizione soggettiva .

È anche importante notare che la scelta di un modo particolare di rappresentare la matrice di densità, ad esempio , è una scelta molto soggettiva. Può essere motivato da una particolare procedura di preparazione, ma matematicamente qualsiasi descrizione che dia la stessa matrice è equivalente. Ad esempio, su un singolo qubit, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ è noto come stato massimamente misto. A causa della relazione di completezza di una base, questa può essere rappresentata come una miscela 50:50 o due stati ortogonali usandounabase da 1 qubit. $\rho=\frac12\mathbb{I}$

\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

Stati puri e misti

La differenza tra la matrice di densità di uno stato puro e uno stato misto è semplice: lo stato puro è un caso speciale che può essere scritto nella forma , mentre uno stato misto non può essere scritto in questa forma. Matematicamente, ciò significa che la matrice di densità di uno stato puro ha rango 1, mentre uno stato misto ha rango maggiore di 1. Il modo migliore per calcolare questo è tramite : implica un puro stato, altrimenti è misto. Per vedere questo, ricorda che $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ $\text{Tr}(\rho^2)$ $\text{Tr}(\rho^2)=1$ , il che significa che tutti gli autovalori si sommano a 1. Inoltre, è semi-definito positivo, quindi tutti gli autovalori sono reali e non negativi. Quindi, se è di grado 1, gli autovalori sono e il loro quadrato di somma è chiaramente 1. Il quadrato di somma di qualsiasi altro insieme di numeri non negativi che somma a 1 deve essere inferiore a 1. $\text{Tr}(\rho)=1$ $\rho$ $\rho$ $(1,0,0,\ldots ,0)$

Lo stato puro corrisponde alla perfetta conoscenza del sistema, sebbene la parte divertente della meccanica quantistica sia che ciò non implica la piena conoscenza dei possibili risultati della misurazione. Gli stati misti rappresentano una conoscenza imperfetta, che si tratti della conoscenza della preparazione o della conoscenza di uno spazio di Hilbert più ampio.

Che la descrizione dello stato misto sia molto più ricca può essere vista dall'immagine della sfera di Bloch su un singolo qubit: gli stati puri sono tutti quelli sulla superficie della sfera, mentre gli stati misti sono tutti quelli contenuti nel volume. In termini di conteggio dei parametri, invece di due parametri, sono necessari tre, quello aggiuntivo corrispondente alla lunghezza del vettore Bloch. doveè un vettore unitario a 3 elementi,è un vettore delle matrici di Pauli eper uno stato puro eper uno stato misto.

ρ = \frac{I + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$

\underline{n}

$\underline{n}$

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$

r = 1

$r=1$

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$

— DaftWullie
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(+1) Grazie, secondo la mia comprensione, abbiamo lo stato

e vogliono sapere su

, e non c'è modo preesistente per trovarlo, quindi stiamo definendo matrice densità, Ho ragione? Abbiamo definizioni diverse di matrice di densità per scopi diversi? Come, hai citato per

per mancanza di conoscenza soggettiva e per obiettivo

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ , in primo luogo, non mi è chiaro cosa intendi per mancanza di conoscenza?

— Tarit Goswami,

(cont.) In secondo luogo, puoi spiegare con esempio cosa intendi con soggettivo e oggettivo ?

— Tarit Goswami,

L'obiettivo di @taritgoswami significa che tutti sono d'accordo. Quindi, se creo uno stato puro e lo annuncio al mondo, tutti sanno cos'è quello stato. È un fatto oggettivo. Ma, se persone diverse conoscono cose diverse su uno stato, ad esempio sanno che è | 0> o | 1>, ma l'ho misurato e sanno che è | 1>, ma non l'ho detto a nessun altro, quindi tutti descrive lo stato in base a ciò che sa al riguardo, quindi ogni soggetto ha una descrizione diversa, personale, dello stato.

— DaftWullie,

@taritgoswami Se c'è un

che è impigliata, non v'è alcuna nozione di

. Non è che non possiamo trovarlo; non esiste. La matrice di densità è la migliore descrizione di A da sola che può esistere perché A non esiste in uno stato da sola, è unita a quella di B. Non abbiamo definizioni diverse di matrice di densità. Le stesse proprietà fondamentali valgono, qualunque cosa tu stia facendo, è solo che ci sono diverse filosofie con cui puoi capire il significato e la pertinenza della matrice di densità.

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

— DaftWullie,

La motivazione dietro le matrici di densità ^[1] :

Nella meccanica quantistica, lo stato di un sistema quantistico è rappresentato da un vettore di stato, indicato con (e pronunciato KET ). Un sistema quantistico con un vettore di stato è chiamato allo stato puro . Tuttavia, è anche possibile che un sistema si trovi in un insieme statistico di diversi vettori di stato. Ad esempio, potrebbe esserci una probabilità del che il vettore di stato sia ed un possibilità che il vettore di stato è . Questo sistema sarebbe in stato misto $|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$ $50\%$ $|\psi_1\rangle$ $50\%$ $|\psi_2\rangle$ . La matrice di densità è particolarmente utile per gli stati misti, poiché qualsiasi stato, puro o misto, può essere caratterizzato da una matrice a singola densità. Uno stato misto è diverso da una sovrapposizione quantistica. Le probabilità in uno stato misto sono le probabilità classiche (come nelle probabilità si impara nella teoria / statistica della probabilità classica), a differenza delle probabilità quantistiche in una sovrapposizione quantistica. In effetti, una sovrapposizione quantistica di stati puri è un altro stato puro, ad esempio . In questo caso, i coefficienti $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ non sono probabilità, ma piuttosto ampiezze di probabilità. $\frac{1}{\sqrt {2}}$

Esempio: polarizzazione della luce

Un esempio di stati puri e misti è la polarizzazione della luce. I fotoni possono avere due elicità , corrispondenti a due stati quantistici ortogonali, (destra polarizzazione circolare ) e (sinistra polarizzazione circolare ). Un fotone può anche trovarsi in uno stato di sovrapposizione, come $|R\rangle$ $|L\rangle$ (polarizzazione verticale) o $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (polarizzazione orizzontale). Più in generale, può trovarsi in qualsiasi stato(con) corrispondente allineare,circolareoellitticapolarizzazione. Se passiamo $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ luce polarizzata attraverso unpolarizzatore circolareche consente sololuce polarizzata, oppure sololuce polarizzata, l'intensità sarebbe ridotta della metà in entrambi i casi. Questo può farsembrareche metà dei fotoni siano nello statoe l'altro in stato. Ma questo non è corretto: entrambiesono in parte assorbito da un verticalepolarizzatore lineare, ma la $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ luce passerà attraverso quel polarizzatore senza alcun assorbimento. $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$

Tuttavia, la luce non polarizzata come la luce di una lampadina a incandescenza è diversa da qualsiasi stato come (lineare, circolare o ellittica polarizzazione). A differenza della luce polarizzata in modo lineare o ellittico, passa attraverso il polarizzatore con perdita di intensità del indipendentemente dall'orientamento del polarizzatore; e diversamente dalla luce polarizzata circolarmente, non può essere polarizzata linearmente con nessuna piastra d'onda perché la polarizzazione orientata casualmente emergerà da una piastra d'onda con orientamento casuale. In effetti, la luce non polarizzata non può essere descritta come una qualsiasi $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ $50\%$ stato della forma in un senso preciso. Tuttavia, la luce non polarizzata può essere descritta con medie complessive, ad esempio che ciascun fotone è con di probabilità o con di probabilità. Lo stesso comportamento si verificherebbe se ogni fotone fosse polarizzato verticalmente con probabilità del o polarizzato orizzontalmente con probabilità del . $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$ $50\%$ $50\%$ $50\%$

Pertanto, la luce non polarizzata non può essere descritta da alcuno stato puro, ma può essere descritta come un insieme statistico di stati puri in almeno due modi (l'insieme di metà sinistra e metà destra polarizzati circolarmente, o l'insieme di metà verticalmente e metà orizzontalmente polarizzati linearmente ). Questi due gruppi sono completamente indistinguibili sperimentalmente e pertanto sono considerati lo stesso stato misto. Uno dei vantaggi della matrice di densità è che esiste una sola matrice di densità per ogni stato misto, mentre ci sono molti insiemi statistici di stati puri per ogni stato misto. Tuttavia, la matrice di densità contiene tutte le informazioni necessarie per calcolare qualsiasi proprietà misurabile dello stato misto.

Da dove vengono gli stati misti? Per rispondere a ciò, considera come generare luce non polarizzata. Un modo è quello di utilizzare un sistema in equilibrio termico , una miscela statistica di enormi numeri di microstati , ciascuno con una certa probabilità (il fattore Boltzmann ), passando rapidamente da uno all'altro a causa delle fluttuazioni termiche . La casualità termica spiega perché una lampadina a incandescenza , ad esempio, emette luce non polarizzata. Un secondo modo per generare luce non polarizzata è introdurre incertezza nella preparazione del sistema, ad esempio, facendolo passare attraverso un cristallo birifrangentecon una superficie ruvida, in modo che parti leggermente diverse del fascio acquisiscano polarizzazioni diverse. Un terzo modo per generare luce non polarizzata utilizza una configurazione EPR: un decadimento radioattivo può emettere due fotoni che viaggiano in direzioni opposte, nello stato quantico . I due fotoni insieme sono allo stato puro, ma se si guarda solo uno dei fotoni e si ignora l'altro, il fotone si comporta proprio come la luce non polarizzata. $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$

Più in generale, gli stati misti derivano comunemente da una miscela statistica dello stato iniziale (come nell'equilibrio termico), dall'incertezza nella procedura di preparazione (come percorsi leggermente diversi che un fotone può percorrere) o dall'osservazione di un sottosistema impigliato qualcos'altro.

Ottenere la matrice di densità ^[2] :

$p_1$ $|\psi_1\rangle$ $p_2$ $|\psi_2\rangle$

$\hat{O}$

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

$\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

Ora, usando l' invarianza ciclica e le proprietà di linearità della traccia :

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} T r (\hat{O} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{O} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= T r (\hat{O} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = T r (\hat{O} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

$\rho$

p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$

Puoi ovviamente estrapolare questa logica per quando sono possibili più di due soli vettori di stato per un sistema, con diverse probabilità.

Calcolo della matrice di densità:

Facciamo un esempio, come segue.

$1$ $2$

$|R\rangle$ $|L\rangle$ $50%$ $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$

$50\%$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{mixed} = 0.5 | R ⟩ ⟨ R | + 0.5 | L ⟩ ⟨ L |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

$\{|R\rangle, |L\rangle\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

$50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{mixed} = 0.5 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0.5 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

$\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Tuttavia, dopo aver attraversato il polarizzatore del piano verticale (3), i fotoni rimanenti sono tutti polarizzati verticalmente (4) e hanno una matrice di densità allo stato puro:

ρ_{pure} = 1 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

$\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Il caso a qubit singolo:

In questo caso, la matrice di densità sarà semplicemente:

ρ_{pure} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

$\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$

la matrice di densità sarà semplicemente:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Questo è molto simile al 'caso 2' sopra, quindi non ho mostrato i calcoli. Puoi porre domande nei commenti se questa parte sembra poco chiara.

$\{|0\rangle,|1\rangle\}$

ρ = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

$\rho$ $\rho = \rho^2$

Esercizi obbligatori:

$\text{diag}(1,0,0,...)$

Fonti e riferimenti :

[1] : https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2] : https://physics.stackexchange.com/a/158290

Crediti immagine :

Utente Kaidor su Wikimedia

— Sanchayan Dutta
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All'inizio è un po 'confuso quello che stai considerando come la tua situazione iniziale. Forse potresti passare da | L> e | R> a | H> e | V> (con il polarizzatore impostato su D)? Mentre tecnicamente è la stessa roba in qualche base, penso che sia più naturale pensare ai polarizzatori nella base H, V.

— Steven Sagona,

Penso che questa domanda manchi l'aspetto fondamentale del diverso tra puro e misto, e cioè che gli stati misti non si comportano meccanicamente quantistici. Dici che gli stati sono miscele classiche, ma non fai notare come gli stati delle sovrapposizioni si comportino meccanicamente quanticamente (che non è banale). Ad esempio, se hai qualcosa in una sovrapposizione di 1qubit, c'è anche una possibilità 50/50 di ciascuna opzione. Quindi, in che modo questo stato è diverso da uno classico? Penso che mostrare come possiamo vedere "l'interferenza quantistica" di uno stato di sovrapposizione sia come illustrare correttamente la differenza.

— Steven Sagona,

^ Questa idea è discussa un po 'qui: physics.stackexchange.com/questions/409205/…

— Steven Sagona

@StevenSagona Grazie per averlo segnalato. Aggiornerò la mia risposta.

— Sanchayan Dutta,

Matrici di densità per stati puri e stati misti