Qual è la relazione tra la porta Toffoli e la scatola Popescu-Rohrlich?

sfondo

Il gate Toffoli è un gate logico classico a 3 ingressi e 3 uscite. Invia a ( x , y , a ⊕ ( x ⋅ y ) ) . È significativo in quanto è universale per il calcolo reversibile (classico).$(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

La casella Popescu-Rohrlich è l'esempio più semplice di una correlazione senza segnalazione. Prende una coppia di ingressi e le uscite ( a , b ) soddisfano x ⋅ y = a ⊕ b tale che un e b sono entrambi variabili casuali uniformi. È universale per una certa classe di ( ma non tutte ) correlazioni non segnalanti.$(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

A mio avviso, questi due oggetti sembrano estremamente simili, specialmente se aumentiamo la casella PR facendola produrre . Questa scatola PR a 2 ingressi e 4 uscite "è" la porta Toffoli a 3 ingressi e 3 uscite ma con il terzo ingresso sostituito da un'uscita casuale. Ma non sono stato in grado di individuare alcun riferimento che li riguardi.$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

Domanda

Qual è la relazione tra la porta Toffoli e la scatola Popescu-Rohrlich? Esiste qualcosa come una corrispondenza tra circuiti classici reversibili e (una certa classe di?) Correlazioni non di segnalazione che mappano l'una sull'altra?

osservazioni

1. $x$$x$

2. $x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$. Ma questa procedura può già essere riprodotta in modo classico con una fonte condivisa di casualità. Quindi mi aspetto che includere cancelli irreversibili non espanda la classe di correlazioni non segnalanti che si possono costruire.

Un modo naturale di mettere in relazione i cancelli di Toffoli e le scatole di PR è vederli entrambi come rappresentazioni della funzione AND di due ingressi binari, ma in modi diversi. La connessione con la funzione AND è evidente e chiaramente riconosciuta dalla domanda, ma la esprimerei in un modo leggermente diverso:

1. $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. $(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$è un bit casuale generato in modo uniforme. L'output del PR box è quindi una coppia di bit casuali perfettamente correlati o perfettamente anticorrelati, a seconda che l'AND degli ingressi sia 0 o 1 rispettivamente. Questo è interessante perché Alice e Bob conoscono collettivamente l'output della funzione AND (che possono ottenere calcolando l'XOR dei loro bit di output), mentre individualmente non hanno alcuna informazione su questo valore.

L'idea che la casella PR calcoli efficacemente la funzione AND in questo modo distribuito è un'idea chiave nella prova di Wim van Dam che la complessità della comunicazione diventa banale in presenza di caselle PR:

Wim van Dam. Conseguenze non plausibili della nonlocalità suprema. Natural Computing 12 (1): 9-12, 2013.