Implementazione di un cancello CCCNOT utilizzando solo porte Toffoli

Un gate CCCNOT è un gate reversibile a quattro bit che inverte il suo quarto bit se e solo se i primi tre bit sono tutti nello stato $1$ .

Come implementare un gate CCCNOT usando le porte Toffoli? Supponiamo che i bit nell'area di lavoro inizino con un valore particolare, 0 o 1, a condizione che vengano restituiti a quel valore.

Immagino che quello che stai cercando sia il seguente circuito. Qui, $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ e $\oplus$ è l'aggiunta modulo $2$ .

Qui, il quinto qubit viene utilizzato come qubit ausiliario o ancilla . Inizia da $|0\rangle$ e finisce in $|0\rangle$ quando viene applicata al circuito.

Vorrei approfondire come funziona questo circuito. L'idea è di verificare innanzitutto se i primi due qubit sono nello stato $|1\rangle$ . Questo può essere fatto usando una singola porta Toffoli e il risultato è memorizzato nel qubit ausiliario. Ora, il problema si riduce a capovolgere il qubit $4$ , ogni volta che i qubit $3$ e il qubit ausiliario sono in $|1\rangle$ . Ciò può anche essere ottenuto utilizzando un'applicazione di una porta Toffoli, ovvero quella centrale nel circuito mostrato sopra. Infine, l'ultimo gate di Toffoli serve a non computare il risultato temporaneo che abbiamo archiviato nel qubit ausiliario, in modo tale che lo stato di questo qubit ritorni a $|0\rangle$ dopo l'applicazione del circuito.

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Nella sezione commenti, è emersa la questione se sia possibile implementare un tale circuito usando solo porte Toffoli, senza usare qubit ausiliari. A questa domanda si può rispondere negativamente, come mostrerò qui.

Vogliamo implementare il $\mathrm{CCCNOT}$ -gate, che agisce su quattro qubit. Possiamo definire la seguente matrice (la rappresentazione matriciale del Pauli- $X$ -gate):

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Inoltre, indichiamo la $N$ matrice identità -dimensional da $I_N$ . Ora, osserviamo che la rappresentazione matriciale della $\mathrm{CCCNOT}$ -gate, che agisce su quattro qubit, è data dalla seguente matrice $16 \times 16$ : $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ Quindi, possiamo determinarne il determinante: $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ Ora consideriamo la rappresentazione matriciale della porta di Toffoli, agendo sui primi tre qubit di unsistemaa$4$qubit. La sua rappresentazione matrice è scritta come (dove abbiamo usato il prodotto di matrici di Kronecker): $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ I2)=1 Calcolo dei rendimenti determinanti: $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ Naturalmente le porte di Toffoli possono anche agire su diversi qubit. Supponiamo di lasciare agire il gate di Toffoli sul primo, secondo e quarto qubit, dove il quarto qubit è il qubit target. Quindi otteniamo la nuova rappresentazione matriciale da quella mostrata sopra scambiando le colonne corrispondenti agli stati che differiscono solo nel terzo e quarto qubit, cioè $|0001\rangle$ con $|0010\rangle$ , $|0101\rangle$ con $|0110\rangle$ , ecc La cosa importante da notare qui, è che il numero di scambi di colonne è pari, e quindi che il determinante rimane invariato. Come possiamo scrivere ogni permutazione dei qubit come una sequenza di permutazioni consecutive di just$2$ qubit (ovvero$S_4$ è generato dalle trasposizioni in$S_4$ ), troviamo che per tutte le porte di Toffoli, applicate a qualsiasi combinazione di qubit di controllo e target, la sua rappresentazione matriciale ha il determinante$1$ .

L'ultima cosa da notare è che il determinante commuta con la moltiplicazione della matrice, cioè $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ , per due matrici$A$ e$B$ compatibili con la moltiplicazione di matrici. Quindi, ora diventa evidente che l'applicazione di più porte Toffoli in sequenza non crea mai un circuito la cui rappresentazione matriciale ha un determinante diverso da$1$ , il che implica in particolare che la$\mathrm{CCCNOT}$$4$

La domanda ovvia, ora, è cosa cambia quando permettiamo un qubit ausiliario. Troviamo la risposta quando scriviamo l'azione del $\mathrm{CCCNOT}$ su un sistema a $5$ qubit:

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ Quindi, il determinante del$\mathrm{CCCNOT}$ -gate che agisce su$5$ qubit è$1$ , anziché$-1$ . Questo è il motivo per cui l'argomento precedente non è valido per$5$ qubit, come già sapevamo a causa del circuito esplicitamente costruito richiesto dall'OP.