Tutti i codici quantici equivalgono ai codici auto-ortogonali additivi ?

Il teorema 2 di [1] afferma:

Supponiamo che è un sub-codice auto-ortogonale additivo di , contenente vettori, in modo tale che non vi sono vettori di peso in . Quindi qualsiasi eigenspace di è un codice additivo per correggere errori quantistici con parametri .GF ( 4 ) n 2 n - k < d C ⊥ / C ϕ - 1 ( C ) [ [ n , k , d ] $C$$\textrm{GF}(4)^n$$2^{n-k}$$<d$$C^\perp/C$$\phi^{-1}(C)$$[[n, k, d]]$

dove qui è la mappa tra la rappresentazione binaria di -operatori di Pauli e la loro parola in codice associata, e è auto- ortogonale se dove è il duale . n $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$$n$$C$C ⊥$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$$C$

Questo ci dice che ogni additivo auto-ortogonale codice classico rappresenta un codice quantico.$\textrm{GF}(4)^n$$[[n, k, d]]$

La mia domanda è se sia vero anche il contrario, vale a dire: ogni codice quantico è rappresentato da un additivo auto-ortogonale codice classico?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

O equivalentemente: ci sono dei codici quantici che non sono rappresentati da un additivo auto-ortogonale codice classico?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

[1]: Calderbank, A. Robert, et al. "Correzione dell'errore quantistico tramite codici su GF (4)." Transazioni IEEE sulla teoria dell'informazione 44.4 (1998): 1369-1387.

Il vincolo autoortogonale additivo sui codici classici per creare codici quantistici di stabilizzatore è necessario perché i generatori di stabilizzatori devono spostarsi tra di loro per creare uno spazio di codice valido. Quando si creano codici quantici da codici classici, la relazione di commutazione per gli stabilizzatori equivale ad avere un codice classico autoortogonale.

Tuttavia, i codici quantistici possono essere costruiti da codici classici non auto-ortogonali su mediante assistenza entanglement. In queste costruzioni, viene selezionato un codice classico arbitrario e, aggiungendo alcune coppie di campane nel sistema a qubit, si ottiene la commutazione tra gli stabilizzatori.$GF(4)^n$

Questo paradigma assistito da entanglement per la costruzione di QECC da qualsiasi codice classico è presentato in arXiv: 1610.04013 , che si basa sull'articolo "Correggere errori quantistici con entanglement" pubblicato su Science da Brun, Devetak e Hsieh.

La tua domanda può essere vista in parte come un problema notazionale.

La notazione è spesso (ma non sempre) riservata ai codici è di tipo stabilizzatore. Come mostra l'articolo di Calderbank et al., I codici stabilizzatori di qubit sono equivalenti ai codici GF auto-ortogonali additivi (4) ^ n classici. Questa costruzione si generalizza, vedi Rif. Ketkar et al. e Ashikhmin e Knill . Qui, la dimensione del codice è per quDits.$[[n,k,d]]_D$$D^k$

Alcuni autori usano per indicare (stabilizzatore e non stabilizzatore) codici che hanno dimensione . Si noti che non è quindi necessariamente una potenza di .$((n,K,d))_D$$K$$K$$D$

Rains et al. furono i primi a costruire un codice di tipo non stabilizzatore, che è decisamente migliore di qualsiasi codice stabilizzatore su cinque qubit: in confronto, il migliore ha parametri , ed è quindi di dimensione . Troverai altri esempi di codici quantici non additivi in Yu et al. , Smolin et al. e Grassl e Beth .$((5,6,2))$$[[5,2,2]]$$2^2 = 4 < 6$