Come dimostrare / confutare l'universalità per una serie di porte?

Una serie universale di cancelli è in grado di imitare il funzionamento di qualsiasi altro tipo di cancello, dato un numero sufficiente di cancelli. Ad esempio, un insieme universale di porte quantistiche sono Hadamard (  $H$  ), $\pi/8$ sfasamento (   ) e la porta . Come si smentirebbe o proverebbe l'universalità di una serie di porte come , o ?$T$$\mathrm{CNOT}$$\{H,T\}$$\{\mathrm{CNOT},T\}$$\{\mathrm{CNOT}, H\}$

L'universalità può essere una cosa molto sottile che è piuttosto difficile da dimostrare. Di solito ci sono due opzioni per dimostrarlo:

• mostra direttamente, usando le porte che hai scelto, come costruire qualsiasi unità arbitraria di dimensioni arbitrarie (non c'è alcun vincolo sulla dimensione della costruzione, solo che può essere fatto) all'accuratezza arbitraria (su qualche sotto spazio non banale dell'intero Hilbert spazio).

• mostra come il tuo set di porte scelto può essere usato per ricreare (con precisione arbitraria) un set universale esistente.

Viceversa, se si desidera confutarlo, si dimostra che l'effetto del proprio insieme di porte può sempre essere simulato da un (presunto) modello di calcolo inferiore, di solito classico.

Esistono alcune euristiche che è possibile utilizzare come guida:

• devi avere un gate multi-qubit nel tuo set. Se tutto ciò che hai sono porte a qubit singolo, puoi simulare ogni qubit in modo indipendente su un computer classico. Quindi, se crediamo che i computer quantistici siano più potenti dei classici, le porte a qubit singolo da sole non sono universali per il calcolo quantistico. Questo esclude {H, T}.

• devi avere un cancello che crea sovrapposizioni. Questo esclude {CNOT, T}. Ancora una volta, questo è un calcolo classico con l'aggiunta di una fase globale irrilevante.

Naturalmente, queste non sono condizioni sufficienti: l'insieme {H, S, CNOT} può anche essere simulato in modo efficiente (vedi teorema di Gottesman-Knill). Questo deve valere anche per {H, CNOT} in quanto sono un sottoinsieme e quindi le operazioni che possono creare non sono più di quelle del set originale.

Uno dei set universali che trovo più interessanti è {Toffoli, H} . Mi sembra sempre sorprendente che questo sia abbastanza (soprattutto quando si confronta con il set precedente). Si noti che non comporta alcun numero complesso.

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Nielsen e Chuang, pag. 191 della decima edizione:

$d$$n$$n$

La prima frase ha un risultato accettato, quindi devi semplicemente dimostrare che la combinazione del tuo set di gate può implementare "un'operazione unitaria a due livelli arbitraria". Per citare Wikipedia:

Tecnicamente, ciò è impossibile poiché il numero di possibili porte quantistiche non è numerabile, mentre il numero di sequenze finite da un insieme finito è numerabile. Per risolvere questo problema, richiediamo solo che qualsiasi operazione quantistica possa essere approssimata da una sequenza di porte da questo insieme finito.

Vedi anche questo documento .