L'equivalenza locale di Clifford ha una rappresentazione grafica diretta per stati del grafico qudit di dimensione non primaria?

Questa domanda fa seguito alla precedente domanda QCSE: " Gli stati del grafico qudit sono ben definiti per la dimensione non primaria? ". Dalla risposta alla domanda, sembra che non vi sia nulla di sbagliato nel definire gli stati dei grafici usando qudit $d$ -dimensionali, tuttavia, sembra che altri aspetti definitivi degli stati dei grafici non si estendano in modo simile alla dimensione non primaria.

In particolare, per gli stati dei grafici a qubit, un aspetto chiave della loro prevalenza e utilizzo è il fatto che: due stati del grafico sono equivalenti a Clifford locali se e solo se esiste una sequenza di complementazioni locali che porta un grafico all'altro (per semplicità, grafici non indirizzati). Inutile dire che questo è uno strumento incredibilmente utile nelle analisi della correzione dell'errore quantico, dell'entanglement e delle architetture di rete.

Quando si considerano gli stati del grafico $n$ -qudit, il grafico equivalente viene ora ponderato con la matrice di adiacenza $A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$ , dove $A_{ij}$ è il peso del bordo $(i,j)$ (con $A_{ij}=0$ indica che non esiste alcun bordo ). Nel caso qudit, è stato dimostrato che l'equivalenza LC può essere estesa in modo simile mediante la generalizzazione della complementazione locale ( $\ast_a v$ ) e l'inclusione di un'operazione di moltiplicazione del bordo ( $\circ_b v$), dove:

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ dove$a, b = 1, \ldots, d-1$e tutta l'aritmetica viene eseguita modulo$p$.

Graficamente, questo è rappresentato dalle seguenti operazioni (riprodotte da Rif. 2 ):

Tuttavia, se lo stato del grafico è definito su qudit di dimensione non primaria, allora possiamo vedere che queste operazioni (sembrano) non rappresentano l'equivalenza LC.

$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$

La mia domanda è: esiste una serie di operazioni grafiche che rappresentano correttamente l'equivalenza locale di Clifford per gli stati dei grafici qudit di dimensione non primaria?

Nota: sono principalmente interessato alle operazioni che si applicano direttamente alla rappresentazione di uno stato come un singolo grafico ponderato, piuttosto che a possibili scomposizioni in più stati del grafico a dimensioni primi, come suggerito nel Sez. 4.3 di " Stati del grafico Qudit assolutamente impigliati ".

$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

Le tabelle di addizione, moltiplicazione e coniugazione sono quindi le seguenti:

$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$