Gli stati quantistici sono vettori di unità ... rispetto a quale norma?

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La definizione più generale di uno stato quantico che ho trovato è (riformulando la definizione da Wikipedia )

Gli stati quantistici sono rappresentati da un raggio in uno spazio di Hilbert di dimensione finita o infinita sopra i numeri complessi.

Inoltre, sappiamo che per avere una rappresentazione utile dobbiamo assicurarci che il vettore che rappresenta lo stato quantico sia un vettore unitario .

Ma nella definizione sopra, non precisano la norma (o il prodotto scalare) associata allo spazio di Hilbert considerato. A prima vista pensavo che la norma non fosse davvero importante, ma ieri mi sono resa conto che la norma era dappertutto scelta come norma euclidea (2-norma). Anche la notazione bra-ket sembra fatta apposta per la norma euclidea.

La mia domanda: perché la norma euclidea è usata ovunque? Perché non usare un'altra norma? La norma euclidea ha proprietà utili che possono essere usate nella meccanica quantistica che altri no?

— Nelimee
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In realtà volevo solo aggiungere un commento ma non ne ho la reputazione: nota che, mentre scrivi nella tua domanda, gli stati quantici sono raggi nello spazio di Hilbert. Ciò significa che non sono normalizzati, ma piuttosto che tutti i vettori nello spazio di Hilbert che puntano nella stessa direzione sono equivalenti. È più conveniente lavorare con stati normalizzati, ma la fisica è in realtà nascosta nella sovrapposizione degli stati tra loro. È per questo motivo che non esiste una norma nella definizione di uno stato.

— Omri Har-Shemesh,

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La regola di Born afferma che che è la probabilità di trovare il sistema quantistico nello stato dopo una misurazione. Abbiamo bisogno che la somma (o integrale!) Su tutte le sia 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Nessuna di queste sono norme valide perché non sono omogenee . Puoi renderli omogenei semplicemente facendo la radice quadrata:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

e potresti riconoscerlo come norma euclidea e generalizzazione della norma euclidea in un dominio non discreto. Potremmo anche usare una norma diversa:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

per qualche matrice / funzione definita positiva A.

Tuttavia un -norm con non sarebbe altrettanto utile perché ad esempio: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

non deve essere 1.

In questo modo la norma euclidea è speciale perché 2 è il potere nella regola di Born, che è uno dei postulati della meccanica quantistica.

— user1271772
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Questa risposta è legata al mio commento su quello di @ DaftWullie . Quindi la norma euclidea viene usata perché il postulato della misurazione ci dice che è l'unica

normale che è valida?

p

$p$

— Nelimee,

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È l'unica p-norma significativa. Vogliamo che la somma delle probabilità sia 1 (che è una legge della matematica) e le probabilità sono definite dal quadrato della funzione d'onda (che è un postulato della meccanica quantistica chiamato regola di Born).

— user1271772

@Nelimee: grazie per il tuo messaggio su Chat. Non riesco a rispondere perché sono escluso dalla chat per altri 2 giorni. Il motivo della prima risposta è stato perché ho letto le tue domande "Perché la norma euclidea è usata ovunque? Perché non usare un'altra norma?" e immediatamente considerato un caso in cui una norma valida non è la norma euclidea ma una 2 norma diversa, che è una norma 2 su un insieme non discreto di variabili. Ho pensato che questo fosse sufficiente per spiegare che la norma euclidea non è l'unica norma valida e perché la norma euclidea viene utilizzata quando lo è. Ma quando ho notato che Daftwullie ha ottenuto il voto e io no, io

— user1271772

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quindi la tua risposta è "a causa della regola di Born"? Questo non sposta semplicemente la domanda su "perché la regola di Born usa il potere di 2?"?

— DaftWullie,

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Sembra un "che cosa è venuto prima, il pollo o l'uovo?" Astuccio.

— user1271772

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Un po 'di terminologia sembra un po' confusa qui. Gli stati quantistici sono rappresentati (all'interno di uno spazio di Hilbert di dimensioni finite) da vettori complessi di lunghezza 1, in cui la lunghezza è misurata dalla norma euclidea. Non sono unitari, perché unitari è una classificazione di una matrice, non un vettore.

Gli stati quantistici sono cambiati / evoluti secondo una matrice. Dato che gli stati quantistici hanno lunghezza 1, risulta necessario e sufficiente che le mappe degli stati puri con gli stati puri siano descritte da matrici unitarie. Queste sono le uniche matrici che conservano la norma (euclidea).

È certamente una domanda valida "potremmo usare una diversa ( ) norma per i nostri stati quantici?" Se poi classifichi le operazioni che associano gli stati normalizzati a stati normalizzati, sono incredibilmente limitate. Se , le uniche operazioni valide sono le matrici di permutazione (con fasi diverse su ciascun elemento). La fisica sarebbe molto più noiosa. $p$ $p\neq 2$

Un buon modo per farsi un'idea è provare a disegnare un set di assi 2D. Disegna su di esso le forme corrispondenti all'insieme di punti di lunghezza 1 sotto diversi -norm. ti dà il cerchio, ti dà un diamante e dà un quadrato. Quali operazioni puoi fare per mappare la forma su se stesso? Per il cerchio, è qualsiasi rotazione. Per ogni altra cosa, sono solo rotazioni per multipli di . Quanto segue proviene da Wikipedia: $p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Se vuoi maggiori dettagli, potresti voler guardare qui .

— DaftWullie
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Grazie per le precisazioni terminologiche! Hai ragione, ho abusato dei termini.

— Nelimee,

Tuttavia, la domanda va bene finché si sostituisce "unitario" con "vettore unità"

— user1271772

Ma questa risposta non risponde al motivo per cui usiamo la norma euclidea. Ho capito che le altre norme non sono convenienti, ma in realtà non abbiamo il controllo su ciò che è "conveniente" all'interno delle leggi della fisica e cosa no, vero?

— Nelimee,

@Nelimee Non è scomodo. È che non esistono molte operazioni se non si utilizza la 2-norma. Operazioni come la radice quadrata di non, che possiamo uscire, fare un esperimento e osservare. Quindi questo esclude tutto tranne la 2-norma

— DaftWullie,

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come con tutta la fisica! Tutte le teorie lo sono, teorie che meglio si adattano ai dati disponibili.

— DaftWullie,

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Più matematicamente, perché con una norma è uno spazio di Hilbert solo per . $\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

— Federico Poloni
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Ho valutato la tua risposta (che è un'ottima prima risposta al QCSE!), Ma deve essere una norma 2? Stai dicendo che 1-norma e 3-norma non sono valide, ma per quanto riguarda la norma nella mia risposta, che è il quadrato della 2-norma?

— user1271772

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@ user1271772 Grazie! Se ho capito bene, la funzione che suggerisci non è nemmeno una norma vettoriale perché non è omogenea.

— Federico Poloni,

2

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

k = 1

$k=1$

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$\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Si scopre che ci sono fondamentalmente solo tre opzioni:

$(0,1,0,0,0)$ $L$
$1$ $v_i$
$2$ $v_i$

Queste sono le uniche possibilità. Per altre norme non esistono trasformazioni interessanti.

Se vuoi una spiegazione più dettagliata e piacevole di questo, "Quantum Computing Since Democritus" di Scott Aaronson ha una conferenza su questo , oltre a un documento .

— Norbert Schuch
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2

$p=2$ $L^p$

$M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

$L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

In alcuni casi è utile non passare al modulo standard. Mescola il modo in cui esegui alcuni calcoli. Ad esempio, se stai eseguendo alcuni numeri, puoi ridurre i tuoi errori con questo tipo di rimpasto per evitare numeri molto piccoli o grandi che la tua macchina trova difficili.

$\sqrt{M_{ii}}$

— AHusain
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-1

$n$

$\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

$i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

$i\ne j$

$n$ $n$ $x$ $n$

$\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$ di probabilità. Se avessi qualche altra norma che può garantire che tutte le leggi della teoria della probabilità siano soddisfatte, sarai in grado di usare anche quella norma.

— user1271772
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@Nelimee: non riesco a rispondere al tuo messaggio di chat "Non ho ottenuto il punto della tua risposta con 0 voti" perché sono stato escluso dalla chat per altri 2 giorni, ma quale parte di questa risposta non ricevi?

— user1271772

@Nelimee? Ora sono al -1 quindi apprezzerei sapere quale parte non era chiara

— user1271772

Ciò che scrivi è solo la norma euclidea in infinite dimensioni. La tua affermazione "La norma euclidea su uno spazio n-dimensionale, come definito qui, non è l'unica norma utilizzata per gli stati quantistici". è fuorviante nella misura in cui si sbaglia.

— Norbert Schuch,

@Norbert. (1) questa è la PIAZZA della norma euclidea. (2) qui è INCREDIBILMENTE infinito. Non è più n-dimensionale nemmeno per numerabile infinito n.

— user1271772

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$