Porta di Toffoli come FANOUT

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Stavo cercando esempi di circuiti quantistici da esercitare con la programmazione Q # e mi sono imbattuto in questo circuito:

^{Da : esempi di schemi circuitali quantistici - Michal Charemza}

Durante i miei corsi introduttivi sul calcolo quantistico, ci è stato insegnato che la clonazione di uno stato è vietata dalle leggi di QM, mentre in questo caso il primo qubit di controllo viene copiato sul terzo, target, qubit.

Ho rapidamente provato a simulare il circuito su Quirk, qualcosa del genere , che in qualche modo conferma la clonazione dello stato in uscita sul primo qubit. Misurare il qubit prima del gate di Toffoli mostra che in realtà non è una vera clonazione, ma invece una modifica sul primo qubit di controllo e un'output uguale sul primo e terzo qubit.

Facendo una semplice matematica, si può dimostrare che la "clonazione" avviene solo se il terzo qubit è nello stato iniziale 0 e che solo se sul primo qubit non viene eseguita una "operazione di rotazione" (come indicato su Quirk) su Y o X.

Ho provato a scrivere un programma in Q # che ha confermato solo quanto sopra.

Faccio fatica a capire come il primo qubit viene modificato da questa operazione e come sia possibile qualcosa di simile a una clonazione.

Grazie in anticipo!

quantum-gate quirk cloning

— D-Brc
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È una domanda eccellente, e grazie per lo sforzo di formattarlo così bene.

— user1271772

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Per semplificare la questione prendere in considerazione la porta CNOT anziché la porta Toffoli; Anche CNOT è sbiadito perché

\begin{aligned} | 0 ⟩ | 0 ⟩ \to | 0 ⟩ | 0 ⟩ \\ | 1 ⟩ | 0 ⟩ \to | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |0\rangle|0\rangle \rightarrow |0\rangle|0\rangle\\ |1\rangle|0\rangle \rightarrow |1\rangle|1\rangle \end{align}$

e sembra clonare per qualsiasi stato di base $x\in\{0,1\}$

\begin{aligned} | x ⟩ | 0 ⟩ \to | x ⟩ | x ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |x\rangle|0\rangle \rightarrow |x\rangle|x\rangle \end{align}$

ma se prendi una sovrapposizione allora $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

\begin{aligned} (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) | 0 ⟩ \to α | 0 ⟩ | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} (\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)|0\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle|0\rangle+ \beta|1\rangle|1\rangle \end{align}$

così in generale

\begin{aligned} | ψ ⟩ | 0 ⟩ ↛ | ψ ⟩ | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle|0\rangle\not\rightarrow|\psi\rangle|\psi\rangle \end{align}$

e la dissolvenza non è la clonazione.

Per quanto riguarda la domanda su come viene modificato il primo qubit, ora è impigliato nel secondo qubit.

— kludg
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In altre parole, perché il teorema di no-cloning dice che non ci può essere alcun grado di clonare unitaria non ortogonali stati, mentre gli stati ortogonali possono essere clonati senza problemi

— GLS

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Buona domanda! La risposta è che il teorema della non clonazione afferma che non è possibile clonare uno stato sconosciuto arbitrario .

Questo circuito non viola il teorema della non clonazione, perché diamo un'occhiata a cosa fa quando l'input è . L'output nel terzo registro deve essere ancora o $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ $|0\rangle$ . $|1\rangle$

$|\psi\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

— user1271772
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| x ⟩

$|x\rangle$

| x ⟩

$|x\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

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Il teorema del no cloning afferma che non esiste un circuito che crea copie indipendenti di tutti gli stati quantistici. Matematicamente, nessuna clonazione afferma che:

\forall C : \exists a, b : C \cdot ((a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) \neq (a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes (a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩)

I circuiti di Fanout non violano questo teorema. Non fanno copie indipendenti. Fanno copie aggrovigliate . Matematicamente, fanno:

FANOUT \cdot ((a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = a | 00 ⟩ + b | 11 ⟩

$\text{FANOUT} \cdot \Big( (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes |0\rangle \Big) = a|00\rangle + b|11\rangle$

— Craig Gidney
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