Algoritmi quantistici per la convoluzione

Stavo esaminando le applicazioni di Quantum Computing per l'apprendimento automatico e ho riscontrato la seguente prestampa dal 2003. Gli algoritmi di convoluzione e correlazione quantistica sono fisicamente impossibili . L'articolo non sembra essere stato pubblicato su nessuna rivista, ma è stato citato alcune decine di volte.

L'autore dell'articolo sostiene che è impossibile calcolare una convoluzione discreta rispetto agli stati quantistici. Intuitivamente questo mi sembra errato, dal momento che so che possiamo eseguire la moltiplicazione della matrice quantistica e so che la convoluzione discreta può essere inquadrata semplicemente come moltiplicazione con una matrice di Toeplitz (o circulante).

Il punto cruciale della sua tesi sembra essere che non esiste una composizione realizzabile di operatori unitari per il prodotto elementwise (Hadamard) di due vettori.

Dov'è la mia disconnessione? C'è qualche motivo per cui non possiamo in generale costruire una matrice di Toeplitz per una convoluzione discreta in un computer quantistico?

O l'articolo è semplicemente errato? Ho elaborato la contraddizione che l'autore presenta nella sua dimostrazione di Lemma 14 e sembra avere senso per me.

Puoi effettivamente eseguire la convoluzione su un computer quantistico (e esponenzialmente più velocemente per quella materia), se i tuoi segnali di ingresso hanno una certa struttura. Ma per gli input generali, questo sembra impegnativo e forse anche fisicamente impossibile, che è ciò di cui il documento sembra discutere.

Pensate a come si potrebbe calcolare la convoluzione di due segnali discreti e classico. Puoi prendere la trasformata di Fourier di entrambi i segnali, fare una moltiplicazione puntuale dei vettori risultanti e quindi fare una trasformata inversa di Fourier:$f$$g$

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

Si noti che la trasformata di Fourier è un'operazione molto economica su un computer quantistico. Quindi questo sembra fantastico. Il problema è che la moltiplicazione puntuale di due vettori non è così semplice. Vediamo quali fattori lo determinano.

Supponiamo di essere fortunati e che lo spettro di Fourier di risulti piatto: F = F ( f ) = $f$

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

In tal caso, il tuo computer quantistico può eseguire un'operazione di matrice diagonale che ti dà la moltiplicazione :

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

Tuttavia, gli algoritmi quantistici che trovano la moltiplicazione puntuale di due vettori possono essere fisicamente impossibili nel caso generale. Questo perché questa operazione non è unitaria in generale. Come semplice esempio, supponiamo che la trasformata di Fourier di sia una funzione appuntita, con zeri nella maggior parte dei luoghi:$f$

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ La moltiplicazione puntuale di questo stato con un altro lo stato non è reversibile (a causa degli zeri) e quindi non unitario.

Ci sono stati lavori precedenti per scoprire funzioni che si traducono in uno spettro di Fourier piatto o quasi piatto e che sono quindi facili da contorto:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

Sono altamente sospettoso del risultato. Se guardi il Teorema 16, afferma che non esiste alcuna operazione che raggiunga la mappa fino alla normalizzazione. Tuttavia, si consideri l'operatore di misurazione Questo implementa chiaramente la mappa desiderata (per quel particolare risultato di misurazione). Inoltre, la sua implementazione è piuttosto semplice. Esiste un unitario (effettivamente un non controllato generalizzato) che può mappare modo da misurare il secondo giro e la post-selezione per ottenere il risultato 0. Ciò sembrerebbe invalidare la prova del documento.P= Σ i | I⟩⟨ii| . | Ioho⟩↦| i0⟩

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$