Come cambiano le probabilità di ogni stato dopo una trasformazione di una porta quantistica?

Le porte quantistiche sono rappresentate da matrici che rappresentano le trasformazioni applicate ai qubit (stati).

Supponiamo di avere un gate quantico che opera su qubit.$2$

In che modo il gate quantico influenza (non necessariamente lo cambia) il risultato della misurazione dello stato dei qubit (poiché il risultato della misurazione è fortemente influenzato dalle probabilità di ogni stato possibile)? Più specificamente, è possibile sapere, in anticipo, come cambiano le probabilità di ogni stato a causa della porta quantistica?

Caso I: i 2 qubit non sono intrecciati.

Puoi scrivere gli stati dei due qubit (diciamo $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$ ) come $|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$ e $|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$ dove $a,b,c,d\in\Bbb{C}$ .

I singoli qubit risiedono in spazi vettoriali complessi bidimensionali (su un campo C ). Ma lo stato del sistema è un vettore (o punto ) residente in uno spazio vettoriale complesso quadridimensionale C 4 (sopra un campo C ).$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

Lo stato del sistema può essere scritto come prodotto tensore cioè una c | 00 ⟩ + un D | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 ⟩ .$|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

Naturalmente poiché il vettore di stato deve essere normalizzato. Il motivo per cui il quadrato dell'ampiezza di uno stato di base dà la probabilità che si verifichi tale stato di base quando misurato nella base corrispondente risiede nella regola della meccanica quantistica di Born (alcuni fisici lo considerano un postulato di base della meccanica quantistica) . Ora, probabilità di | 0 ⟩ verificano quando il primo qubit viene misurato è$|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$ . Allo stesso modo, la probabilità di | 1 ⟩ si verificano quando il primo qubit è misurato è | b c | 2 + | b d | 2 .$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

Ora, cosa succede se applichiamo un gate quantico senza eseguire alcuna misurazione sullo stato precedente del sistema? Le porte quantistiche sono porte unitarie. La loro azione può essere scritta come azione di un operatore unitario sullo stato iniziale del sistema, cioè un c | 00 ⟩ + un D | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 ⟩ per la produzione di un nuovo stato A | 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ (dove A , B , C , D ∈ C ). La grandezza di questo nuovo vettore di stati: | A | 2 + | B | 2 + | C | 2 + | D | 2 equivale di nuovo a 1 , poiché la porta applicata eraunitaria. Quando viene misurato il primo qubit, probabilità di | 0 ⟩ che si verificano è | A | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$ e similmente puoi trovarlo per il verificarsi di | 1 ⟩ .$|A|^2+|B|^2$$|1\rangle$

Ma se eseguissimo una misurazione, prima dell'azione della porta unitaria il risultato sarebbe diverso. Ad esempio, hai misurato il primo qubit e si è rivelato essere in stato lo stato intermedio del sistema avrebbe collassato ad una c | 00 ⟩ + un D | 01 $|0\rangle$ (secondo l'interpretazione di Copenaghen). Quindi puoi capire che applicare lo stesso gate quantico suquestostato avrebbe dato un risultato finale diverso.$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

Caso II: i 2 qubit sono aggrovigliati.

Nel caso in cui lo stato del sistema sia simile a , non si può rappresentare come un prodotto tensoriale di stati di due qubits singoli (provate!). Ci sono molti altri esempi simili. Si dice che i qubit si intrecciano in questo caso.$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

Comunque, la logica di base rimane sempre la stessa. La probabilità di si verificano quando il primo qubit è misurato è | 1 / $|0\rangle$ e| 1⟩occuring è$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$Anche 2 . Allo stesso modo puoi scoprire le probabilità per la misurazione del secondo qubit.$\frac{1}{2}$

Ancora una volta se applichi un gate quantico unitario su questo stato, finiresti con qualcosa come , come prima. Spero che ora tu possa scoprire le probabilità delle diverse possibilità quando vengono misurati il ​​primo e il secondo qubit.$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

Nota: normalmente gli stati di base del sistema a 2 qubit sono considerati come i quattro 4 × 1 vettori colonna come [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] , ecc mappando i quattro vettori di base alla base standard di R 4 . E le trasformazioni unitarie U possono essere scritte come 4 × $|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$matrici che soddisfano la proprietà .$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

Sì, è possibile. Le porte quantiche sono progettate in modo tale che determinati stati di input vengano trasformati in stati di output ben definiti con probabilità calcolabili. La trasformazione non costituisce una misurazione nel senso della meccanica quantistica, ciò significa che possiamo avere degli stati intrecciati nell'uscita di una porta quantistica e usare questi stati per ulteriori calcoli.

Si noti inoltre che gli stati di ingresso non sono più accessibili dopo essere stati trasformati da un gate quantico. Se vuoi riaverli indietro, devi applicare un cancello inverso.

In che modo il gate quantico influenza (non necessariamente lo cambia) il risultato della misurazione dello stato dei qubit (poiché il risultato della misurazione è fortemente influenzato dalle probabilità di ogni stato possibile)? Più specificamente, è possibile sapere, in anticipo, come cambiano le probabilità di ogni stato a causa della porta quantistica?

Proviamo ad affrontare questo con un esempio e un po 'di geometria. Considera un singolo qubit, il cui spazio di Hilbert è , ovvero lo spazio di Hilbert complesso bidimensionale su C (per le persone più tecniche, lo spazio di Hilbert è in realtà C P 1 ). Si scopre che C P 1 ≅ S 2 , la sfera unitaria, nota anche come sfera Bloch . Ciò si traduce nel fatto che tutti gli stati di un qubit possono essere rappresentati (in modo univoco ) sulla sfera Bloch.$\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

Fonte: Wikipedia

Lo stato di un qubit può essere rappresentato sulla sfera Bloch come , dove0≤θ≤πe0≤Phi;<2π. Qui,| 0⟩=[10]e| 1⟩=[01]sono i due stati di base (rappresentati rispettivamente nella figura a nord e polo sud). Quindi gli stati del qubit non sono altro che vettori di colonna, che sono identificati con punti (unici) sulla sfera. ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$$0 \leq \theta \leq \pi$$0 \leq \phi < 2 \pi$$|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$$|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$

Cosa sono le porte quantiche? Si tratta di operatori unitari v, U U † = U † U = I . Le porte su un singolo qubit sono elementi di S U ( 2 ) . Considera un gate semplice come Y (che sta per la matrice di Pauli σ y : = Y = [ 0 - i i 0 ] ).$U$$U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$$SU(2)$$Y$$\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

In che modo questo gate agisce su un qubit e influenza i risultati della misurazione?

Supponiamo che inizi con un qubit nello stato , vale a dire, al polo nord sulla sfera Bloch. Si applica una unitaria della forma U = e - i γ Y dove γ ∈ R . Utilizzando le proprietà della matrice Pauli, otteniamo U = e - i γ Y = c o s ( γ ) I - i s i n ( γ ) Y . L'azione di questo operatore è di ruotare lo stato di un angolo di 2 $|0\rangle$$U = e^{-i \gamma Y}$$\gamma \in \mathbb{R}$$U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$$2 \gamma$lungo l'asse y e quindi se scegliamo , il qubit | 0 ⟩ → U | 0 ⟩ = | 1 ⟩ . Vale a dire, dato che sappiamo quale unitario stiamo applicando al nostro stato, conosciamo completamente il modo in cui il nostro stato iniziale si trasformerà e quindi sappiamo come cambieranno le probabilità di misurazione.$\gamma = \pi/2$$|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$

Ad esempio, se dovessimo effettuare una misurazione in base, inizialmente, si potrebbe ottenere lo stato | 0 ⟩ con probabilità 1; dopo aver applicato l'unità, si otterrebbe lo stato | 1 ⟩ con probabilità 1.$\{|0\rangle, |1\rangle\}$$|0\rangle$$|1\rangle$

Come hai detto, le probabilità delle misurazioni sono ottenute dallo stato. E i cancelli operano unitamente sugli stati. Si consideri il POVM elemento , uno stato ρ e un cancello U . Quindi la probabilità per il risultato associato a Π è p = t r ( Π ρ ) e la probabilità dopo il gate è p ′ = t r ( Π U ρ U † ) .$\Pi$$\rho$$U$$\Pi$$p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$$p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$

Voglio solo sottolineare che è impossibile conoscere la probabilità del risultato dopo il cancello solo dalla probabilità di esso prima del cancello. Devi considerare le ampiezze di probabilità (gli stati quantistici)!

Consentitemi di fare un'altra osservazione: stai parlando di due qubit, quindi lo stato dopo il cancello potrebbe essere intrappolato. In questo caso non sarà possibile avere distribuzioni di probabilità "individuali" per ciascun qubit per tutte le misurazioni, nel senso che la distribuzione di probabilità congiunta non prenderà in considerazione le due distribuzioni marginali.