Come verrebbe usato un computer quantistico per risolvere equazioni differenziali parziali?

12

Supponi di avere un PDE che vuoi risolvere.

Che tipo di algoritmi quantistici useresti per risolverlo? Come possiamo inserire il nostro problema su un computer quantistico? Quale sarà l'output e in quale forma?

So che gli algoritmi quantistici per risolvere i sistemi lineari (spesso chiamati HHL ma in realtà questo è un brutto nome in quanto altre versioni non sono degli autori HHL) sono stati elencati prima, ma forse altri metodi sono disponibili. Inoltre, poiché è considerato come una subroutine, l'output è quantico e quindi, a meno che non si vogliano statistiche da esso o utilizzarlo come input di un altro algoritmo quantistico, è limitante.

algorithm

— Cnada
fonte

Quanto generale vuoi che sia il tuo PDE? È lineare?

— AHusain,

Se hai in mente configurazioni diverse di PDE, vorrei sapere per ognuna. Dì prima lineare ad esempio perché immagino che non lineare possa essere più difficile da fare.

— cnada,

6

Non ho una risposta esatta alla tua domanda (se esiste davvero); ma posso rispondere a una parte della tua domanda riguardante l'I / O a un processore quantico.

Come regola generale; Gli algoritmi quantistici (attualmente) non possono fornire risposte dirette a dichiarazioni di problemi. Almeno per ora, i processori quantistici esistono come acceleratori eterogenei con un'unità di elaborazione classica. L '"acceleratore quantistico" si occupa solo di quella parte dell'algoritmo complessivo che non è banale (o esponenziale nella complessità) da risolvere su un computer classico. Alla fine, solo una parte secondaria del programma viene effettivamente calcolata sul processore quantico. (Ad esempio, l'algoritmo di factoring di Shor è in realtà un algoritmo di ricerca di periodi. La ricerca di periodi è un'attività non banale.)

Tra le altre ragioni, i problemi principali sono le operazioni di input e output con un processore quantico. Il problema "deve" essere espressibile in una forma concisa (ad esempio un'equazione). Questa equazione è espressa come un circuito quantistico nell '"oracolo" che si occupa principalmente di risolvere l'equazione e vengono registrati i risultati della misurazione (tomografia). Anche l'output ha bisogno di post-elaborazione per avere effettivamente senso (che viene nuovamente eseguito dalla controparte classica).

ps Sarei molto interessato a saperne di più sulla PDE che risolve algoritmi quantistici; se ce n'è uno efficiente.

— viliyar
fonte

Capisco il punto di vista "generale". Per me non è banale come modelliamo la risoluzione PDE su un computer quantistico. Questo è diretto in HHL perché il tuo problema può essere espresso come un sistema lineare Ax = f quando fai una discretizzazione. Esprimi semplicemente la tua f come uno stato quantico (il tuo primo input), usi A in una forma eremitica per la stima di fase, ad esempio (secondo input) e usando la subroutine che usa rotazione controllata e non computazione (almeno per la versione originale di HHL ) hai il tuo output come stato quantico.

— cnada,

Questo diventa in qualche modo efficiente nella dimensione del problema perché usi la dimensionalità esponenziale dello spazio di Hilbert per codificare nelle ampiezze di probabilità della funzione d'onda.

— cnada,

Ma mi chiedo se ci sono altri modi / algoritmi per PDE.

— cnada,

4

Mi sono imbattuto in un approccio per risolvere equazioni differenziali usando la ricottura quantistica dell'onda D. Il link è qui: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

Il metodo di base è derivare l'energia funzionale per l'equazione differenziale che viene quindi minimizzata su una ricottura quantistica. La minimizzazione può utilizzare la base di elementi finiti per mappare l'energia su un sotto-grafico localizzato della macchina dell'onda D.

$\mathcal{O}(n)$

— Jeremy
fonte

1

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$