Significato delle operazioni di Clifford dal punto di vista della correzione degli errori quantistici

Nella letteratura su QECC, le porte di Clifford occupano uno stato elevato.

Considera i seguenti esempi che lo attestano:

• Quando studi i codici stabilizzatori, studi separatamente come eseguire gate Clifford codificati (anche se questi non sono applicabili trasversalmente). Tutto il materiale introduttivo su QECC enfatizza l'esecuzione di operazioni codificate di Clifford su codici quantici. E altrimenti, enfatizzare le porte di Clifford (cioè, anche quando non si eseguono porte di Clifford codificate in codici quantici).

• L'intero argomento della distillazione dello stato magico * si basa sulla classificazione di alcune operazioni (compresa la prestazione dei cancelli di Clifford) come operazioni a basso costo, mentre, ad esempio, esegue il toffoli-gate o il $\pi/8$ gate, come superiore operazioni a basso costo.

Possibili risposte:

1. Ciò è stato giustificato in alcuni punti della letteratura, ad esempio la tesi di dottorato di Gottesman e molti articoli da lui scritti, e anche in https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 . La ragione fornita in questi luoghi è che è possibile eseguire trasversalmente alcune porte Clifford (un'operazione prototipica a tolleranza d'errore) su determinati codici stabilizzatori. D'altra parte, non è facile trovare un'applicazione trasversale di porte non Clifford su codici quantici. Non l'ho verificato da solo, ma sto solo seguendo dichiarazioni che Gottesman rilascia nel suo dottorato di ricerca. tesi di laurea e alcuni articoli di revisione.

Non essere in grado di eseguire trasversalmente un gate codificato su un codice quantico aumenta immediatamente il costo di esecuzione di detto gate sul codice. E quindi i cancelli Clifford rientrano nella categoria a basso costo, mentre i cancelli non Clifford rientrano nella categoria a costi elevati.

2. Dal punto di vista ingegneristico, è importante decidere su un elenco standardizzato di unità di base di calcolo quantistico (preparazione dello stato, porte, misure osservabili / base), ecc. L'esecuzione delle porte di Clifford rende una scelta conveniente su quella lista a causa di molteplici motivi (i set più noti di porte quantistiche universali includono molte porte Clifford, teorema di Gottesman-Knill **, ecc.).

Queste sono le uniche due ragioni per cui ho potuto pensare al motivo per cui il gruppo Clifford ha uno status così elevato nello studio del QECC (in particolare quando si studiano i codici stabilizzatori). Entrambe le ragioni derivano da una prospettiva ingegneristica.

Quindi la domanda è: si possono identificare altri motivi, che non derivano da una prospettiva ingegneristica? C'è qualche altro ruolo importante che le porte di Clifford svolgono, che ho perso?

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* Sentiti libero di correggere questo. ** Il che afferma che si limita a determinate operazioni, non è possibile ottenere il vantaggio quantico e quindi è necessario un po 'più dell'insieme di operazioni a cui inizialmente si è limitato.

Le operazioni di Clifford sono spesso facili da tollerare ai guasti nei codici stabilizzatori, sia trasversalmente che mediante deformazione del codice. Il motivo è esattamente come pensavi: la relazione speciale tra questi cancelli e i Paulis, poiché questi ultimi sono usati per definire i codici stabilizzatori.

È possibile ottenere porte non Clifford in codici, ma è necessario pagare un prezzo. In particolare, esiste una relazione tra la località geometrica dei codici e le porte che possono fare trasversalmente. Quindi, se ti è permesso di fare solo cancelli controllati vicini più vicini su un reticolo 2D (come una superficie o un codice colore) saranno possibili solo Cliffords. Vedi articoli come questo per ulteriori informazioni al riguardo.

Il fatto che possiamo aspettarci Cliffords tolleranti ai guasti dai codici stabilizzatori è stato successivamente messo al centro delle tecniche per sintetizzare i set di gate universali. Quindi, se c'è un modo per creare uno stato codificato non stabilizzatore in un modo non tollerante ai guasti, sappiamo come ripulirlo usando il nostro Clifford logico. Per trasformare questi stati in rotazioni, usiamo i nostri Cliffords logici. Quindi, se si dispone di un codice e si desidera applicare tutti questi risultati standardizzati, è meglio trovare Cliffords tollerante ai guasti. O almeno i Paulis, H e un CZ o CNOT se non riesci a gestirli tutti.